Numeeriset konformikuvaukset

Mitä ovat konformikuvaukset?

Nelikulmion moduli

Nelikulmion moduli eli venymäkerroin on keskeinen numeerinen suure konformikuvauksissa. Sovitaan ensin, että yleistetty nelikulmio on yhdesti yhtenäinen alue, jonka reunalta on määritelty vastapäivään luettuna neljä reunapistettä. Jos tämä nelikulmio kuvataan konformisesti suorakaiteeksi siten, että mainitut reunapisteet kuvautuvat suorakaiteen kulmiksi, niin suorakaiteen korkeuden ja leveyden suhde on nelikulmion moduli. Nelikulmion modulia käytetään usein konformikuvausten laadun mittaamisessa. Tällöin alkuperäinen nelikulmion moduli on jollakin teoreettisella tavalla tunnettu ja numeerisesti laskettua nelikulmion modulia verrataan siihen.

HUOM: Tämä kuva ei ole skaalassa!

Mitä menetelmiä konformikuvausten konstruoimiseen on?

Perustapaukset

Lineaarikuvaus

Möbius-kuvaus

Möbius-kuvauksilla tarkoitetaan muotoa w(z)=(az+b)/(cz+d) olevia kuvauksia, joilta edellytetään lisäksi determinantin häviämättömyyttä, eli ad-bc ≠ 0. Näitä sanotaan myös lineaarisiksi fraktionaalisiksi kuvauksiksi tai R_1,1-kuvauksiksi. Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat suorat ja ympyränkaaret suoriksi ja ympyränkaariksi ja ovat konformisia kaikkialla muualla paitsi navassa, joka sijaitsee pisteessä z=-d/c.

Möbius-kuvausten eräitä erityistapauksia ovat Cayleyn muunnokset, jotka kuvaavat yksikkökiekon D(0;1)={z:|z|<1} joksikin standardiksi puolitasoksi tai toisin päin. Esimerkiksi w(z)=(1+z)/(1-z) kuvaa vasemman puolitason yksikkökiekoksi. Toinen tärkeä Möbius-kuvausten luokka on yksikkökiekon automorfismit. Nämä ovat aina muotoa w(z)=exp(i*φ*z)*(z-a)/(1-a'*z), missä φ on rotaatiokerroin ja a' on a:n kompleksikonjugaatti.

Potenssifunktio

Schwarz-Christoffel-integraalikaava

On todistettu, että jos funktio w toteuttaa differentiaaliyhtälön

w'(z)=B ∏_k (z - z_k)^{- α_k/π},

Halutaan esimerkiksi funktio, joka kuvaa ylemmän puolitason ensimmäiseksi neljännekseksi. Tällaista varten α₁=π/2 (ainoa kulma), ja siis

w'(z)=B z^-1/2,

Jos alkukulmia on kaksi suoraa kulmaa, päädytään tyypillisesti käänteisiin trigonometrisiin funktioihin, mutta monissa muissa tapauksissa kyseeseen tulevat korkeammat transkendenttiset funktiot, joita voi laskea ainoastaan numeerisella integroinnilla.

Oskulaatioalgoritmit

Koeben algoritmi

Tämä on tunnetuin oskulaatioalgoritmeista ja sitä on alunperin käytetty Riemannin kuvauslauseen todistuksessa. Riemannin kuvauslauseen mukaan kaikilta yhdesti yhtenäisiltä alueilta (paitsi koko kompleksitasosta!) on olemassa konformikuvaus yksikkökiekoksi. Algoritmi perustuu siihen, että kuvattava alue ensin skaalataan kokonaisuudessaan yksikkökiekon sisään ja sen jälkeen siitä valitaan origosta lukien lähin piste. Kuviota 'siirretään' sen jälkeen yksikkökiekon automorfismilla siten, että 'minimipiste' asettuu origoon. Tämän jälkeen otetaan holomorfinen neliöjuuri ja suoritetaan automorfismi takaisinpäin säilyttäen alkuperäisen origon kuvan.

Seuraavassa on esitetty tarvittavat MATLAB-ohjelmakoodit, sillä nämä algoritmit muodostavat oskulaatioalgoritmien tutkimuksen 'rungon'. Ne voivat kuitenkin olla varsin hitaita tulkattavissa järjestelmissä, kuten GNU Octavessa, joten vakavampaan käyttöön suositellaan C++ - tai FORTRAN-kielisiä implementaatioita.

adjpolygon_MATLAB.m (laatii monikulmion reunapisteistön)

function [q,v]=adjpolygon_MATLAB(p,tol)

% usage: [Q,V]=adjpolygon_MATLAB(P,TOL)
%
% P is a list of complex numbers forming a counterclockwise-oriented polygon.
% This function repeatedly checks whether an edge forms an angle of less than
% TOL. If so, then an edge is split in half in Q to lessen the seriosity of
% this condition. The iteration stops when the polygon does not need to be
% altered anymore. List V consists of new vertice indices corresponding to
% original vertices in P.
%
% Author: Mikko Nummelin, 2007, 2008

	if nargin<1
		error('usage: W=adjpolygon_MATLAB(P,TOL)\n');
	else if nargin<2
		tol=.1; % default value for tolerance
	end

	qtmp=[p,p(1)]; % to make the array circular
	changes_made=true; % to enter the loop at least once

	while changes_made==true
		changes_made=false;
		q=qtmp(1);
		for k=1:length(qtmp)-1

			% Checks whether an edge in polygon forms an
			% angle exceeding the tolerance condition. If yes,
			% then a vertice is added to split the edge in half.
			if abs(imag(log(qtmp(k+1)/qtmp(k))))>tol
				av=(qtmp(k)+qtmp(k+1))/2;
				q=[q,av,qtmp(k+1)];
				changes_made=true;
			else
				q=[q,qtmp(k+1)];
			end
		end
		qtmp=q;
	end
	q=q(1:length(q)-1); % chops away the last value

	% Searches for indices of vertices in q corresponding to original
	% vertices in p.
	v=zeros(1,length(p));
	for k=1:length(p)
		v(k)=find(q-p(k)==0);
	end
end

holsqrt_MATLAB.m (holomorfinen neliöjuuri)

function w=holsqrt_MATLAB(z,k)

% usage: W=holsqrt_MATLAB(Z,K)
%
% Z is a list of complex numbers approximating a Jordan curve,
% K is the index of first member (usually this member has value of zero)
% which is taken to the holomorphic square root.
%
% Author: Mikko Nummelin, 2007, 2008
%
% BUGS:   NEVER use this in GNU Octave or in any 'production environment'
%         This implementation is for algorithmic clarification only and
%         EXTREMELY INEFFICIENT in interpreted systems. Use dynamic
%         extension versions instead.

	if nargin<1
		error('usage: W=holsqrt_MATLAB(Z,K)\n');
	elseif nargin<2
		k=1;
	end

	% Resulting array
	w=zeros(1,length(z));

	% The first member of holomorphic square root should be the value of
	% complex square root nearest to -i.
	p=-i;
	if k < length(z)
		k1=k+1;
	else
		k1=1;
	end

	while k1 ~= k
		s=sqrt(z(k1));

		% Chooses the next value of square root so that it is the
		% alternative located nearest of previous value of hol.
		% square root.
		if abs(s-p)>abs(s+p)
			w(k1)=-s;
			p=-s;
		else
			w(k1)=s;
			p=s;
		end

		% Increments the index, but wraps around to 1 at the end of
		% the array.
		if k1 < length(z)
			k1=k1+1;
		else
			k1=1;
		end
	end
end

koebe_step_MATLAB.m (yksittäinen Koeben algoritmin askel)

function [w,m]=koebe_step_MATLAB(z,tol)

% usage: [w,m]=koebe_step_MATLAB(z,tol)
%
% Author: Mikko Nummelin, 2007, 2008

	if nargin<1
		error('usage: W=koebe_step_MATLAB(Z,TOL)\n');
	elseif nargin < 2
		tol=.99; % default value for tolerance
	end

	[m,mindex]=min(z);
	w=z;

	% The step is accepted only if nearest point from origin is nearer
	% than the tolerance level.
	if abs(m) < tol

		% Finds the angle, how much the Jordan-area should be rotated
		% in order to place the minimum point at the negative real
		% axis and performs such rotation.
		rot=-m'/abs(m);
		w=w.*rot;

		% Performs the Koebe transform by 'translating' the minimum
		% point onto the origin by unit-disk automorphism and then
		% performing the holomorphic square root. As we know that
		% if |z| < 1, then |sqrt(z)| > |z|, this means that the points
		% in the boundary are transformed slightly nearer the edge
		% of the unit disk, not however landing outside it.
		m=abs(m);
		w=(w+m)./(1+m*w);
		w=holsqrt_MATLAB(w,mindex);
		ms=sqrt(m);
		w=(w-ms)./(1-ms*w);

		% Finally the rotation is reversed for visual effects.
		w=w.*rot';
	end
end

koebe_MATLAB.m (Itse Koeben algoritmi useilla iteraatioaskeleilla)

function w=koebe_MATLAB(z, rounds, tol)

% usage: w=koebe_MATLAB(z, rounds, tol)
%
% Author: Mikko Nummelin, 2007, 2008

	if nargin<1
		error('usage: W=koebe_MATLAB(Z,ROUNDS,TOL)\n');
	elseif nargin<2
		rounds=100; % default rounds
		tol=.99; % default value for tolerance
	elseif nargin<3
		tol=.99;
	end

	% Scales the Jordan-area into the unit disk.
	[m,mindex]=max(z);
	w=z./abs(m);

	for k=1:rounds
		[w,m]=koebe_step_MATLAB(w,tol);
		if abs(m)>=tol
			break;
		end
	end
end

koebe_test_MATLAB.m (Testiohjelma, joka demonstroi edellisten käyttöä)

% A simple test program for Koebe algorithm implemented in MATLAB.
% Mikko Nummelin, 2008

1;

p=[0,3,2+i,4+2i,.5+2i];
p2=p-(.5+.5i);
[q,v_ind]=adjpolygon_MATLAB(p2,.05);
plot(q,'*');
fprintf('Press any key\n');
pause;

q2=koebe_MATLAB(q,50);
plot(q2,'r*',exp(i*[0:pi/100:2*pi]),'k-');

% Prints the approximated Schwarz-Christoffel-parameters
imag(log(q2(v_ind)))

Edellämainitut koodit ovat saatavissa paketista koebe_MATLAB-1.0.tar.gz. Paketti puretaan (esimerkiksi) seuraavasti:

$ zcat koebe_MATLAB-1.0.tar.gz | tar xvf -
$ cd koebe_MATLAB-1.0/

Logaritminen Koeben algoritmi

Tämä menetelmä on edellisen parannus, joka käyttää hyväkseen holomorfista logaritmia. Kun kompleksinen logaritmi tyypillisesti tarkoittaa:

ln(z)=ln|z|+i*arg(z),

ln|z|+i*arg(z)+2*i*n*π,
ln|z|+i*arg(z)+2*i*(n+1)*π,
ln|z|+i*arg(z)+2*i*(n-1)*π

Edellämainitun logaritmisen Koeben algoritmin koodit ovat saatavissa paketista logkoebe_MATLAB-1.1.tar.gz. Hakemisto sisältää testitiedoston, joka osoittaa oikean käyttötavan.

Sinh-log-menetelmä

Tässä menetelmässä logaritmin ja sopivan skaalauksen jälkeen otetaan hyperbolinen sini, jolloin aluetta saadaan huomattavasti laajennettua vasemmassa puolitasossa. Koska hyperbolinen sini kuitenkin määritellään: w(z)=(exp(i*z)-exp(-i*z))/2, tarkoittaa tämä myös mahdollisten virheiden eksponentiaalista kasautumista. Tämä tekee 'perusmuotoisen' hyperbolisen sinin menetelmän epästabiiliksi.

Menetelmää voidaan parantaa tekemällä välissä sopiva napakoordinaatistomuunnos ja käyttämällä hyväksi 'puolikiekkomuunnosta'

w(z)=(z^2+2*z-1)/(-z^2+2*z+1)

• oscpack_MATLAB-0.9.tar.gz
• oscpack_MATLAB-0.9.zip

Graafinen esimerkki