\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
%\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}


\harjoitus{2}{46}{13 -- 17.11.2006}

Kurssin www-sivuja:\\
Pääsivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/}\\%[2ex] 
Octave \texttt{http://www.gnu.org/software/octave/ }, voit ladata omalle
koneellesi (kohta "downloads")\\
Lyhyt Matlab-opas: \\
\verb_http://math.tkk.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/_\\
%\texttt{http://prdownloads.sourceforge.net/octave/octave-2.1.73-1-inst.exe?use_mirror=surfnet}\\
%Luentosivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/06/L}\\%[2ex]
%Harjoitussivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/06/H}\\%[2ex]
Kurssisivu/05: \verb- http://math.tkk.fi/teaching/p3/vanha_index.html-


\subsubsection*{Alkuviikko}

Tehtävät 1 ja 2 ovat taas ja tästedes kotitehtäviä.

\begin{enumerate}

\item
Selvitä perustellen kysymykset:\\
(a) Montako tukisaraketta on $7\times 5-$matriisilla, jos sen sarakkeet ovat LRT? \\
(b) Montako tukisaraketta on $5\times 7-$matriisilla, jos sen sarakkeet virittävät avaruuden $\R^5$ ?

\item
Olkoon $T:\R^2\to\R^2$ lineaarikuvaus, joka kuvaa vektorin\\
$\u=\lbrack 5,2 \rbrack^T$ vektorille $\w=\lbrack 5,2 \rbrack^T$ 
ja vektorin 
$\v=\lbrack 1,3 \rbrack^T$ vektorille $\z=\lbrack -1,3 \rbrack^T$ \\
Määritä $T:$n lineaarisuuden perusteella seuraavien vektorien kuvat:
$3\,\u, \ \ 2\,\v$ ja $3\,\u + 2\, \v .$

\item
Osoita, että vektorit $\lbrack 0,0,0,1 \rbrack^T$, 
$\lbrack 0,0,1,1 \rbrack^T$, $\lbrack 0,1,1,1 \rbrack^T$ ja
$\lbrack 1,1,1,1 \rbrack^T$ muodostavat avaruuden $\R^4$ kannan ja
määritä vektorin $\v=\lbrack-1,0,1,2\rbrack^T$ esitys tässä kannassa.


\item
Olkoon $T$ lineaarikuvaus, jonka geometrinen kuvailu on annettu seuraavissa
eri kohdissa. Määritä kuvauksen matriisi tapauksissa (a) -- (e).

(a) Kierto kulman $\frac{\pi}{4}$ verran ja venytys kertoimella $2$ tasossa $\R^2$.\\
(b) Kohtisuora projektio y-akselille $\R ^2$:ssa, \\ 
(c) Venytys/kutistus kertoimilla $0.5,1.5,3$ kussakin koordinaattisuunnassa 
$\R^3$:ssa, \\
(d) Heijastus xy-taon suhteen $\R^3$:ssa, \\
(e) Ensin suoritetaan vaakasuora leikkaus ("horizontal shear"), joka kuvaa
koordinaattivektorit: $\e_1 \mapsto \e_1,\ \ \e_2 \mapsto \e_2 - 2\,\e_1 $
ja sen jälkeen heijastus suoran $x_2 = -x_1$ suhteen.

Ohje (e): Katso, miten kantavektorit $e_1$ ja $e_2$ kuvautuvat yhdistetyssä 
kuvauksessa. Tai: Määritä kummankin kuvauksen matriisi ja kerro ne keskenään.\\
Huvi \& hyöty : Kokeile Matlab-piirtoa. (Kts. alla olevia ohjeita.)

%Kelpuutetaan suoritukseksi 3 kohtaa.


\item
Olkoon $T:\R^n \to \R^m$ lineaarikuvaus ja olkoon 
$\lbrace \v_1,\v_2,\v_3 \rbrace$ LRV vektorijoukko. Selvitä, onko kuvajoukko
$\lbrace T \v_1,T \v_2,T \v_3 \rbrace$ LRV.

(Tämä on tosi lyhyt!)


\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item 
Olkoon $A=
 \left[ \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\\noalign{\medskip}2&5&0&0
\\\noalign{\medskip}3&6&8&0\\\noalign{\medskip}4&7&9&10\end {array}
 \right]$

Selvitä $A:$n sarakkeiden LRT kahdella tavalla:\\
(1) Suoraan LRT/LRV-määritelmän mukaan (vektorimuoto matriisimuodoksi)\\
(2) Käyttämällä lausetta sec. $1.7$ \textbf{Theorem 7, s. 68} 
(Lineaarikombinaatioiden\/ "terästetty muoto". \\
Ohje: Jos olisivat LRV, niin jokin olisi edellisten lineaarikombinaatio.

\item
Määritä \emph{Gauss--Jordanin} menetelmällä $A^{-1}$, tai totea, ettei
sitä ole, kun

(a)
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 2&0&-1\\\noalign{\medskip}5&1&0\\\noalign{\medskip}0&1&3\end {array} \right] 
$ \quad (b)
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 3&-1&5\\\noalign{\medskip}2&6&4\\\noalign{\medskip}5&5&9\end {array} \right] 
$

Ohje: \emph{Gauss--Jordanin} menetelmä: Liitännäismatriisin oikeaksi puoleksi
yksikkömatriisi, \textit{rref} koko hökötykselle, ja simsalabim, oikealle ilmestyy
$A^{-1},$ jos on olemassa.\\
(Herkistämme myös korvamme perustelulle, miksi tämä taikasauva 
toimii.)\\
Erityisen mukava tehdä Matlabilla/Octavella:
\begin{verbatim}
> A=[2 0 -1;5 1 0;...]; Id=eye(3,3); AId=[A Id]
> rref(AId)
\end{verbatim}

Saat tehdä toisen kokonaan ja toisenkin osittain Matlab/Octavella. 
Jos lasket ohjelmalla, niin
tee nyt kuitenkin käsin ainakin pari rivioperaatiota ja selvitä, missä 
järjestyksessä laskenta tapahtuu 
(erityisesti siirtymävaihe yläpuolen nollauksen alkaessa).

%yksi "ylhäältä alas-"\/ ja pari "alhaalta ylös-"\/ 
%rivioperaatiota.

\item (Singulaariarvohajoitelma). Oletetaan, että neliömatriisilla $A$ 
($n\times n$) on
esitys: $A= U D V^T,$ missä $U^T\,U=I,$ $V^T\,V=I$ ja $D$ on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \geq \sigma_n > 0. $  (Voidaan osoittaa, että tällainen esitys, on kaikilla matriiseilla, sitä
pidetään yleisesti numeerisen matriisilaskennan tärkeimpänä hajoitelmana.
Toki yleisesti $\sigma_k = 0$ saattaa esiintyä jostain $k$ alkaen.)\\
No niin, osoita, että yllä oleva matriisi $A$ on kääntyvä ja kirjoita
käänteismatriisille kaava.

\item
Olkoon $A=
 \left[ \begin {array}{cccc} 1&-3&2&-4\\\noalign{\medskip}-3&9&-1&5
\\\noalign{\medskip}2&-6&4&-3\\\noalign{\medskip}-4&12&2&7\end {array}
 \right]
\thicksim
 \left[ \begin {array}{cccc} 1&-3&2&-4\\\noalign{\medskip}0&0&5&-7
\\\noalign{\medskip}0&0&0&5\\\noalign{\medskip}0&0&0&0\end {array}
 \right] $, missä "mato"\/ $\thicksim$ tarkoittaa riviekvivalenssia.


(a) Määritä sarakeavaruuden kanta ja dimensio.\\
(b) Määritä riviavaruuden kanta ja dimensio.\\
(c) Määritä nolla-avaruuden dimensio (vain kokonaislukuaritmetiikkaa).
%(d) Tarkista dimensioita koskevan peruslauseen\\ (rangi+nulliteetti $= n$)toteutuminen.

\item
Määritä edellisen tehtävän (c)-kohdan $N(A):$n kanta

\item
Olkoon $A$ neliömatriisi, jonka kaikki päälävistäjän alapuoliset alkiot
ovat nollia. (Sanotaan: $A$ on yläkolmiomatriisi.)
Osoita, että det$(A)$ on päälävistäjän alkioiden tulo. Osoita sama asia
myös alakolmiomatriisille.


\end{enumerate}

\textbf{Ohjeita}


\textbf{Rivi- ja sarakeavaruudet, nolla-avaruus}

$\mathrm{col}(A)$, $\mathrm{row}(A)$ ja $N(A)$ saadaan samasta ref-muodosta,
siis vain yhdet ja samat rivioperaatiot kaikkiin tehtäviin.\\
Muista, mikä ero on rivi- ja sarakeavaruuksien kannoilla. Syy tähän on se, että
rivioperaatioissa muodostetaan rivivektorien lineaarikombinaatiota, siis 
pystytään riviavaruudessa. Sensijaan \textbf{rivioperaatioissa ei} yleensä 
muodostu \textbf{sarakevektorien lineaarikombinaatioita}, eihän!\\
Muista myös, että vektoriavaruuden kanta on kaikkea muuta kuin yksikäsitteinen,
oikeita vastauksia on siis paljon.
(Yksikäisitteistä on avaruuden vektorin esitys kannan avulla.)\\
$N(A)$:n kanta saadaan ratkaisemalla homogeeniyhtälö. Merkitse mielellään
vapaita muuttujia tyyliin $x_9=s,\ \ x_5=t,\ldots $. Kirjoita takaisinsijoituksella saamasi ratkaisut niin, että nollat ovat mukana (jos se helpottaa hahmotusta), jolloin on helppo
nähdä kantavektorit (jotka on helppo nähdä LRT:ksi).


\textbf{Lineaarikuvaus} määräytyy kantavektorien kuvista. Matriisi 
peruskantojen
suhteen saadaan latomalla kantavektorien kuvat sarakkeiksi.


\textbf{Tason lineaarikuvaukset ja tietokonegrafiikka}

Monikulmio voidaan esittää 2-rivisenä matriisina, jonka sarakkeet edustavat
koordinaattipisteitä. Esim. Kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä $(0,0),
(1,1),(1,-1)$ voitaisiin esittää matriisina

$$T=\left[ \begin {array}{cccc} 0&1&1&0\\\noalign{\medskip}0&1&-1&0\end {array} \right].$$

Kärkipisteet yhdistetään janalla tässä järjetyksessä.
Matlab/Octavessa voidaan nyt piirtää: {\tt > plot(T(1,:),T(2,:))}.
Jos tähän sovelletaan lineaarikuvausta, eli kerrotaan matriisilla $A$, saadaan
kuvan kärkipisteet $S=AT.$ Matlab/O:lla voitaisiin siten kirjoittaa
{\tt > S=A*T; plot(S(1,:),S(2,:))}. 



\end{document}