\documentclass[finnish,10pt,twocolumn]{article}
%\usepackage{/home/apiola/tex/KP3harj}
\usepackage{KP3harj}
\usepackage{ae,aecompl} 
%\usepackage{KP3vara}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
\def\Ln#1{\textit{Ln #1}}
\def\Log#1{\textit{Log #1}}
\def\Re {\textit{Re}}
\def\Im {\textit{Im}}
\def\Arg {\textit{Arg}}
\def\arg {\textit{arg}}
% vektori
\newcommand{\Ve}[1]{{\bf #1}}

%%%%%  madotus ~~~~~~~~~~~~~~  matolääke
%$f(t)={\cal L}^{-1}\Bigl\lbrace F(s)\Bigr\rbrace$

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}


\harjoitus{5}{49}{4 -- 8.12.2006 (LV 6.12 $\to$ 13.12)}

%Kurssin www-sivuja:\\
%Pääsivu:  \texttt{http://math.tkk.fi/opetus/kp3-ii/}\\%[2ex] 
Luentomateriaalit: Kalvot,prujut ..., seuraa L-sivun päivityksiä.
[KRE] 3.4 -- 3.6, 19.1,19.3, 10.1--10.4 \\
Fourier-sarjoista on pruju, joka tulee myös Editan kautta
lähipäivinä.








\subsubsection*{Alkuviikko}

6.12. AV-ryhmäläiset: Vierailkaa muissa ryhmissä.

\begin{enumerate}

\item
Määritä (EHY):n 
$\begin{cases}y_1' = 3\, y_1 + y_2 - 3\, \sin \, 3 t\\
y_2' = 7 y_1 - 3\, y_2 + 9\, \cos \, 3t -16\, \sin\, 3t
\end{cases}$

yleinen ratkaisu.

Ohje: Suorita tehtävä diagonalisointitekniikalla (KRE s. 187 -- 188).
Diagonalisoinnissa syntyvät skalaariyhtälöt voit ratkaista joko
tyyliin "(HY):n yleinen + (EHY):n erikoinen", missä tuo erikoinen
haetaan esim. määräämättömien kertoimien menetelmällä.
Yleispätevä tapa on integraalikaava, joka saadaan ns. 
"vakion variointikaavasta". (KRE) kaava (19) s. 188.

Vastaus: $\begin{cases} 
y_1 = c_1\, e^{-4 t} + c_2\, e^{4 t} + \sin \, 3 t \\
y_2 = -7 c_1 e^{-4t} + c_2 e^{4 t} + 3\, \cos \, 3 t
\end{cases}$


\item
Klassinen saalis-saalistaja-ongelma ("ketut ja j\"anikset", Volterran-Lotkan
malli) on seuraavanlainen:  Alueella olevien jänisten ja kettujen
lukumääriä merkit\"a\"an $x(t)$:ll\"a ja $y(t)$:ll\"a vastaavasti.

Ajatellaan, että jänikset syövät ruohoa ja ketut jäniksiä (ja vain niitä).
Kasvua rajoittavia tekijöitä ei ole, muuta kuin jäniksille ketut
ja ketuille jänisten puute (eli kilpailevat ketut). Tilannetta mallintavat 
yhtälöt voisivat olla
vaikkapa:
$\begin{cases}
x'= 200\, x -4\, x\, y \\
y'=-150\,y  + 2\, x\, y.
\end{cases}$


Määritä systeemin kriittiset pisteet. Linearisoi siinä, jossa populaatiot
eivät kuole sukupuuttoon.

\item
Määritä edellä linearisoidun systeemin luonne ja piirrä jokin trajektori, 
jonka
pitäisi kuvata alkuperäistä epälineaarista systeemiä, jos ollaan
lähellä kriittistä pistettä. (Tässä on kyllä tyyppi, joka yleisesti ottaen
voi linearisoinnissa muuttua, mutta tämän systeemin tapauksessa säilyy.)

Piirrä myös vastaavat koordinaattifunktioiden $x(t)$ ja $y(t)$ kuvaajat
ajan funktioina.

Selvitä faasitason käyrää seuraamalla, miten populaatiot kehittyvät
yhden kokonaisen jakson kuluessa.

"Vapaaehtoinen", mutta suositeltava:
Piirrä mieluusti {\tt pplane7}-ohjelmalla \matl:ssa.
Vahvista samalla kuvan perusteella näkemystä edellä viitattuun tyypin
säilymiseen linearisoinnissa.


\item
Tarkastellaan vaimennettua heiluria, jonka yhtälö on \\
$\Theta''+  c \, \Theta' + k\, \sin(\Theta)  = 0.$

Määritä kriittiset pisteet ja linearisoi niissä.
Toisin sanoen, suorita vastaavat asiat, jotka tehtiin luennolla
vaimentamattoman heilurin yhteydessä.

Hahmottele tavalla tai toisella, mieluiten {\tt pplane7}:llä
trajektoreita ja selvitä niitä seuraamalla heilurin käytöstä, vertaa
vaimentamattoman käytökseen.
 
Ohje: Jos avaat KRE8-kirjan s. 177, saat varsin pitkälle menevää avustusta.
Suorita joka tapauksessa linearisointi Jakobiaanin avulla, eikä KRE-tyylillä.
\\
{\tt pplane7}-ohje: Valitsemalla 
{\em Gallery} ja sieltä {\em pendulum}, voit asettaa vaimennusta enemmän tai
vähemmän. Kokeile pienellä vaimennuksella aluksi ainakin.







\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko}

6.12. LV-ryhmäläiset: Tämä harjoitus pidetään ke 13.12.
\begin{enumerate}

\item
Sovella Eulerin menetelmää lineaariseen systeemiin
$\begin{cases} 
y_1'=-y_1+y_2\\
y_2'=-y_1-y_2
\end{cases} y_1(0)=0,\ \ y_2(0)=4.$

Käytä askelpituutta $h=0.2$ ja laske $3$ askelta.
Piirrä ratkaisupolku $y_1y_2-$ tasoon (faasitasoon) 

Ratkaise tehtävä myös tarkasti, ominaisarvojen avulla.
Hahmottele trajektori ja piirrä edellä saatu ratkaisupolku
samaan kuvaan.


\item %1
Ratkaise alkuviikon jänis-kettu-systeemi Eulerin 
menetelmällä. %Ota $\alpha=0.01$ ja 

$x(0)=100,
y(0)=100$
ja laske $3$ askelta käyttäen askelta $h=0.001$.
Piirrä polku $xy-$tasoon (faasitasoon). Piirrä mielellään samaan kuvaan
"oikea" ( ts. paremmalla numeerisella menetelmällä laskettu) trajektori.
Ehdotus: Teepä kuin teekin trajektorin piirto {\tt pplane7}-ohjelmalla (mutta älä jää koukkuun).



\item %4
Seuraavat $2\pi$-jaksoiset funktiot on määritelty välillä 
$\lbrack -\pi,\pi \rbrack$ alla annetuilla kaavoilla.
Hahmottele funktioiden kuvaajat kolmen jaksovälin 
alueella eli välillä $\lbrack -3\pi,3\pi \rbrack.$

% ja selvitä, mitkä ovat parillisia, parittomia tai ei kumpaakaan.

(a) $f(x)=x,\ \ (-\pi < x < \pi)$ \\ 
(b)  $f(x) = \begin{cases}
 x,\ \ \textrm{kun}\/ \ \ -\pi < x < 0 \\
 0,\ \ \textrm{kun}\/ \ \ 0 < x < \pi \\
\end{cases}$

(c) 
$f(x)=\begin{cases}
x^2,\ \ \textrm{kun} \ \ -\pi < x < 0 \\
-x^2,\ \ \textrm{kun} \ \ 0 < x < \pi.
\end{cases}$


\item %5
Ovatko seuraavat funktio parillisia, parittomia, vai ei kumpaakaan?

(a) $f(x)= x\,\cos\,n\,x, $ (b) $f(x)= x^2\,\cos\,n\,x, $ 
(c) $f(x)=\cos \,x + \sin \,x, $ (d) $f(x)= x^2, $ kun $0 < x < 2\pi,$ $f$
on $2\pi-$jaksoinen.


\item %6
Olkoon $2\pi$-jaksoinen funktio määritelty jakson pituisella välillä näin:\\
$f(x)=\begin{cases}
c, \ \ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}\\
0, \ \ \frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}
\end{cases}$

Piirrä $f:$n kuvaaja välillä $\left[-2\,\pi,2\,\pi\right].$  Onko $f$
parillinen, pariton tai ei kumpaakaan?

Muodosta $f$:n Fourier-sarja, kirjoita auki osasumma, joka koostuu 3:sta
ensimmäisestä $0$:sta poikkeavasta termistä:
Piirrä, jos voit, tämän osasumman ja muidenkin kuvia samaan kuvaan funktion 
kuvaajan kanssa.
%, ja hahmottele tämän osasumman
%kuvaaja. (Katso ohjeista \matl-piirtoa.)

Vast(koko sarja): $f(x)\sim \frac{c}{2}+\frac{2c}{\pi}
\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\frac{\cos (2k-1)x}{2k-1}.$\\
Vihje: Huomaa, että jaksollisen funktion integraali voidaan laskea minkä 
tahansa välin yli, joka on jakson pituinen.

\item %2
Muodosta funktion $f(x)=x, \ \ 0 < x < L$ 
(a) parillinen ja (b) pariton jatke välille $\lbrack -L,L \rbrack$
ja piirrä kummankin $2\,L-$ jaksoinen jatke välillä 
$\left[-4L,4L\right]$ ja kerro, minkätyyppisistä termeistä kummankin 
Fourier-sarjat muodostuvat.

Laske parittoman jatkeen Fourier-sarja.

Vast:
$f(x)\sim \frac{2L}{\pi}\left(\sin \frac{\pi x}{L}-
\frac{1}{2}\sin \frac{2\pi x}{L}+\frac{1}{3} \sin \frac{3\pi x}{L} 
- \ldots \right)$



\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita}

{\bf Linearisointi:} 

Olkoon DYS 
$\begin{cases}
x' = f(x,y)\\
y' = g(x,y).
\end{cases}
$
ja olkoon $(a,b)$ kriittinen piste (KRP), ts. $f(a,b)=g(a,b)=0.$\\
Pisteessä $(a,b)$ linearisoitu systeemi tarkoittaa systeemiä\\
 $\left[ \begin {array}{c} u'\\\noalign{\medskip}v'\end {array} \right] =
A\,  \left[ \begin {array}{c} u\\\noalign{\medskip}v\end {array}
 \right],$ missä $u=x-a,\ \ v=y-b$ ja $A$ on Jacobin matriisi:

$A = J_F(a,b) = \left[ \begin {array}{cc} {\frac {\partial }{\partial x}}f \left( x,y \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}f \left( x,y \right) 
\\\noalign{\medskip}{\frac {\partial }{\partial x}}g \left( x,y
 \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}g \left( x,y \right) 
\end {array} \right] 
 $

%tapahtuu laskemalla kriittiset pisteet (KRP).
%Jos $ {\bf p_0}$ on KRP, niin linearisoidun systeemin matriisi 
%on 
%diff.yhtälön määrittelevän (vektoriarvoisen) funktion ${\bf f}$
%Jacobin matriisi 
%$({\frac {\partial}{\partial y_{{j}}}}f_{{i}}(y_1,...y_n)))$


%Jos linearisoidun systeemin O:n luonne on keskus 
%(ominaisarvot puhtaasti
%imaginaariset), se ei välttämättä kerro alkuperäisen epälineaarisen
%systeemin KRP:n luonnetta. Muissa tapauksissa ($\Re(\lambda)\neq 0$)
%sensijaan kertoo. 



\subsubsection*{Diff. yhtälöiden numeriikkaa}

Annettu diff. yhtälösysteemi:
$\y'=f(t,y),\ \ \y(t_0)=\y_0$ 
\\
Jos/kun kyseessä on systeemi, niin $\f$ ja $\y$ ovat vektoriarvoisia.

\paragraph*{Eulerin menetelm\"a}
$y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\ \ y(t_0)=y_0$
%GKV $=O(h)$ (GKV={\bf G}lobaali {\bf k}atkaisu{\bf v}irhe) 

%\paragraph*{Heunin menetelmä} % {\bf Ota kesätenttiteht.}

%\textbf{Heunin menetelm\"a (eli parannettu Euler)}


%$$\begin{cases}
%\vec{y}_{n+1}^\star=\y_n+h \f(t_n,\y_n) \\
%\vec{k}_n=\frac{1}{2}(\f(t_n,\y_n)+\f(t_{n+1},\y_{n+1}^\star)),\ \
%\vec{y}_{n+1}=\vec{y}_n+h\,\vec{k}_n
%\end{cases}
%$$





%Osittaisintegrointia \maple:lla:\\
%{\tt int(x*sin(a*x),x);} antaa:
%${\frac {\sin \left( ax \right) -ax\cos \left( ax \right) }{{a}^{2}}}$

%{\tt int(x*cos(a*x),x);} antaa:
%${\frac {\cos \left( ax \right) +ax\sin \left( ax \right) }{{a}^{2}}}$







\subsubsection*{Fourier-kertoimet, $f$ määritelty välillä $(-L,L)$}
$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos {\frac{n \pi x}{L}}+
b_n \sin {\frac{n \pi x}{L}}\right)$ \\
$a_0={\frac{1}{2L}}\int_{-L}^L f(x)dx, \ \
a_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\cos {\frac{n \pi x}{L}} dx ,\\
b_n={\frac{1}{L}}\int_{-L}^L f(x)\sin {\frac{n \pi x}{L}} dx$

Nämä kaavat annetaan kokeissa. 



\end{document}


\subsection*{Fourier-kaavoja ja lauseita}

{\bf Suppenemislause}. Olkoon $f$ jaksollinen funktio, jaksona $p$.
Oletetaan, että $f$ on paloittain jatkuva ja että sillä on kaikkialla
sekä vasemman että oikeanpuoliset derivaatat. 
Tällöin f:n Fourier-sarja suppenee kaikissa pisteissä $x$ kohti arvoa
$\frac{1}{2}(f(x-)+f(x))$. Siten kaikissa pisteissä $x$, joissa $f$ on
jatkuva, sarja suppenee kohti funktion arvoa $f(x)$.

{\bf Huom 1} Vasemmanpuolinen derivaatta tarkoittaa tässä yhteydessä 
erotusosamäärän
vasemmanpuolista raja-arvoa, kun laskentapisteenä on funktion vasemmanpuolinen
raja-arvo. Oikeanpuolinen vastaavasti.
Niinpä esim. Heavisiden funktiolla on origossa vp. ja op. derivaatta
tässä mielessä $=0$. "Normaalin" puhetavan mukaan funktio olisi siten
derivoituva ja erityisesti jatkuva 0:ssa, mikä viimeistään paljastaa, että
puhetapamme on normaalista poikkeava.

%{\bf Huom 2} Muitakin riittäviä ehtoja tunnetaan. Välttämättömia ja
%riittäviä ei tunneta.

Ehkä -- ehkä ei:

Numeerisia menetelmiä laskiessasi voit hyvin käyttää tavallisen laskimen 
sijasta Matlabia laskimena. Tarkoituksenmukaisin tapa lienee määritellä
systeemin oikea puoli (vektori)funktioksi, jolloin laskeminen on pelkkää
riemua!
Esim:
\begin{verbatim}
>> F=inline('[-y(1)+y(2);-y(1)-y(2)]','y')
>> h=0.2;
>> y0=[0;4]
>> y1=y0+h*F(y0)
...
\end{verbatim}

%Myöhemmin näemme, miten Euler kirjoitetaan oikeaksi Matlab-
%funktioksi.

\textbf{Klassinen Runge-Kutta (RK4)}

$$
\begin{cases}
k_1=h \f(t_n,\y_n)\\ 
k_2=h \f(t_n+{\frac{h}{2}},\y_n+{\frac{k_1}{2}})\\
        k_3=h \f(t_n+{\frac{h}{2}},\y_n+{\frac{k_2}{2}})\\
        k_4=h \f(t_n+h,\y_n+k_3) \\
       \y_{n+1}=\y_n+ {\frac{1}{6}}(k_1+2 k_2 + 2 k_3 + k_4) \end{cases}
$$
GKV$=O(h^4)$


\item
Tehtäviä lineaaristen faasitasoista, jotka yo. tyyppiä. "Ratkaise analyyttisesti" ja vertaa numeeriseen.


\item %2
Tarkastellaan alkuarvotehtävää $\y'=A \y,\ \ \y(0)=\lbrack 3,6\rbrack^T,$
missä
$$ A= \left[ \begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}5&-4\end {array}
 \right] 
$$

(a) Ratkaise alkuarvotehtävä tarkasti.\\
(b) Muodosta numeerinen likiarvo pisteessä $t=0.2$ laskemalla kaksi askelta 
Eulerin menetelmällä askelpituudella $h=0.1.$ \\
(c) Muodosta numeerinen likiarvo pisteessä $t=0.2$ laskemalla yksi askel
Heunin menetelmällä askelpituudella $h=0.2.$\\
(d) Kumpi tapa tuottaa tarkemman likiarvon?

Huom! Virhettä voit mitata vaikka tavallisella euklidisella normilla, tai
esim. komponenttien erotusten itseisarvojen maksimilla.


\hrule
{\tt [KRE]} 3.3 -- 3.6 ja CH 19 DY-numeriikkaa \\
L-sivulla pieni pruju numeerisista DYS-menetelmistä (tulee).\\
\verb_ http://math.rice.edu/~dfield/_
\matl-ohjelma {\tt pplane7.m}. Moni tehtävä saa aivan uutta hohtoa sitä käyttäen.\\
Käyttö: Sijoita {\tt pplane7.m}-tiedosto johonkin, käynnistä \matl\ ja mene
\matl:n {\tt cd}-komennolla ``sinne johonkin''. Sitten vain kirjoitat \matl-
komennon: {\tt pplane7}. (Versiossa $7$ eivät näköjään kaikki piirteet toimi,
mutta hupia ja hyötyä siitä on niinensäkin.)\\
Huom! Jos piirto punaisella värillä jatkuu ja jatkuu, kannattaa painaa stop-
painiketta. Esim. (melkein) jaksollisen ratkaisun tapauksessa laskenta saattaa
jatkua ikuisuuden. 

\hrule








\item
Ratkaise alkuarvotehtävä $\y' = A\,\y,\ \ \y(0)=\left[2,3\right]^T$,\\
$A=\left[ \begin {array}{cc} 1&-1\\\noalign{\medskip}9&-5\end {array} \right].$
\qquad
Vast: $\y(t)=e^{-2\,t}\left[ \begin {array}{c} 2+3\,t\\\noalign{\medskip}3+9\,t\end {array} \right] 
$\\
Vihje: Degeneraatiotapaus, Vrt. KRE s. 168, exa 6




\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko}

\begin{enumerate}

\item 
Muodosta yleinen ratkaisu yhtälölle $\y' = A\, \y,$ \\ 
kun 
$A= \left[ \begin {array}{cc} -3&2\\\noalign{\medskip}-1&-1\end {array} 
\right]$

Kirjoita ratkaisu ensin kompleksimuodossa ja siirry sitten reaaliseen.
Kuvaile trajektorien muoto ja käytös (vaikka stabiilisuutta ajatellen).

Vast: $\y(t)={\it c_1}\,{e^{ \left( -2+i \right) t}} \left[ \begin {array}{c} 1-i
\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right] +{\it c_2}\,{e^{ \left( -2-i
 \right) t}} \left[ \begin {array}{c} 1+i\\\noalign{\medskip}1
\end {array} \right] ={\it c_1}\,{e^{-2\,t}} \left[ \begin {array}{c} \cos \left( t \right) +
\sin \left( t \right) \\\noalign{\medskip}\cos \left( t \right) 
\end {array} \right] +{\it c_2}\,{e^{-2\,t}} \left[ \begin {array}{c} 
\sin \left( t \right) -\cos \left( t \right) \\\noalign{\medskip}\sin
 \left( t \right) \end {array} \right] 
 $ (Voidaan kirjoittaa myös mm. "matriisitulomuotoon")


\item
Määritä yhtälön $\y' = A\, \y$ yleinen ratkaisu,\\ kun $A=
 \left[ \begin {array}{ccc} 0&1&1\\\noalign{\medskip}1&0&1
\\\noalign{\medskip}1&1&0\end {array} \right].$\quad
Päättele matriisia päältäpäin katselemalla, että ratkaisu onnistuu suoraviivaisesti.

Määritä $y_1\,y_2\,y_3-$avaruuden taso, jolla sijaitsevat lähtöpisteet lähenevät $\mathbf{0}$:aa, kun $t\to \infty.$  Minkälaisia käyriä tässä tasossa 
sijaitsevat trajektorit ovat? Entä miten käy niille pisteille, jotka ovat
tämän tason ulkopuolella?

Annetaan ominaisarvot: $2,-1,-1$ ja arvoa $2$ vastaava ominaisvektori: 
$\lbrack 1,1,1\rbrack^T$


\item %1
Muunna seuraavat differentiaaliyhtälöt/ryhmät 1. kertaluvun ryhmiksi.
(Tarkoitus {\bf ei ole} yrittää ratkaista.)

(a) $y''' + e^t y' + y=0$, \quad (b) $y'' + k \sin y = 0$ (heiluriyhtälö),
\\ (c) 
 $\begin{cases}
     y_1''-y_1'-2y_1=t^2 \\
     y_2''-y_2-3y_1=0 
    \end{cases}$

Huomaa, että (a) ja (c) ovat lineaarisia, 
sensijaan (b) on epälineaarinen, joten sille on turha etsiä matriisia.


\item
Määritä vapaan vaimennetun värähtelyn:
$$y''+{\frac{c}{m}}y'+{\frac{k}{m}}y=0$$
kriittisen pisteen (0,0) luonne tapauksissa 

a) ei vaimennusta, $c=0$, \quad b) alivaimennus, $c^2 < 4m k$, \rv
c) kriittinen vaimennus, $c^2 = 4 m k$, \\ d) ylivaimennus, $c^2 > 4 m k$.

%Vapaaehtoinen kertaus: Ratkaise tehtävä myös "vanhalla tyylillä"\/ sijoittamalla
%siihen suoraan yrite $y=e^{\lambda \, t}.$

Ohje: Kirjoita yhtälö ensin 1. kl. systeemiksi. 
%Käytä mieluummin merkintöjä
%$tr(A)$ ja $det(A)$ kuin {\tt KRE-}kirjan $p$ ja $q$ .
Esitä perustelut ominaisarvojen tyyppien nojalla. Niiden selvittämisessä
voit (mutta ei ole pakko) laskemisen sijasta käyttää toisen asteen yhtälön 
juurien ominaisuuksia (vrt. KRE luku 3.4). 
Perusteluiksi ei kelpuuteta (nyt eikä kokeessa) ulkoa tai sisältä 
pamitettuja "pq-ehtoja"\/
KRE-kirjan tyyliin, jos niiden yhteys ominaisarvoihin on kadoksissa!

\item
Epähomogeeniyhtälölle (EHY)
$\vec{y}' = A \vec{y} + \vec{g}, \ \ \vec{y}(0)=\vec{y}_0$
johdettiin ratkaisukaava:

$\y(t)=E(t)\vec{y}_0 + \int_0^t E(t-s)\vec{g}(s) ds .$ %(tulee konvoluutio mieleen, eikö vaan?)

Vektorifunktion integrointi tarkoittaa yksinkertaisesti integrointia
komponenteittain.

Tässä $E(t)$, jolle käytetään myös merkintää $e^{At}$
tarkoittaa homogeeniyhtälön (HY) ns. perusmatriisia, ts. matriisia,
jonka sarakkeina on (HY):n LRT ratkaisufunktiot ja jolle $E(0)=I$ 
(yksikkömatriisi).

Ratkaise (EHY) systeemi:

$$\vec{y}'=\left [\begin {array}{cc} 1&-1\\\noalign{\medskip}9&-5\end {array}
\right ] \vec{y} + \left [\begin {array}{c} t\\\noalign{\medskip}1\end {array}
\right ],\ \ \vec{y}(0)=(1,-1) $$

Huomaa, että (HY) on sama kuin  AV teht. 4.

\item %2
Määritä systeemin
$$\begin{cases}
        % \dot x=x-x^2+2y+3 \\
         %\dot y=-x+2y 
    x'=x-x^2+2y+3 \\
    y'=-x+2y 
\end{cases}$$
kriittiset pisteet.

Linearisoi systeemi kunkin kriittisen pisteen suhteen ja määritä niiden luonne
sekä hahmottele faasikuvaa.

%Ratk. Jeffrey s. 579--580


\end{enumerate}

\hrule

\textbf{Oppia, ohjeita:}

\textbf{Trajektori} tarkoittaa vain sitä, että piirretään $y_1\,y_2-$tasoon pisteitä $(y_1(t_1),y_2(t_1)), (y_1(t_2),y_2(t_2)), \ldots$. Näistä pisteistä 
$(y_1(t),y_2(t)),$ $t:$n juostessa läpi reaaliarvoja, muodostuu tuo faasitasokäyrä, eli trajektori. 

\subsubsection*{Lineaaristen $2\times 2-$systeemien faasitasoluokitus}



Ominaisarvot $\lambda_1, \lambda_2$. Tyyppikuvaus ja stabiilisuus viittaavat
kriittiseen pisteeseen, joka lineaarisella homogeenisella on $\vec{0}$.
(Jos $A$ on singulaarinen, niin kaikki $N(A)$:n pisteet ovat kriittisiä
pisteitä, mutta alla olevassa luokittelussa tämä suljetaan pois (ts.
ominaisarvo $0$ on suljettu pois).

%\begin{itemize}
\quad - Samanmerkkiset $\implies$ {\em noodi}, jos $<0,$ niin {\em nielunoodi},
(vahvasti) stabiili, jos $>0,$ niin {\em lähdenoodi}, epästabiili,
Trajektorit voivat näyttää potenssifunktiomaisilta erilaisin potenssein
(riippuu ominaisarvojen suhteesta), erikoistapauksessa voivat olla jopa sädekimppu. Käytöstä voisi ehkä kutsua yleistetyn "paraabelimaiseksi"\\
\quad -  Erimerkkiset $\implies$ {\em satula}, epästabiili.
Sama potenssikäytös kuin edellä, nyt "hyperbelimäisesti"
\quad -
Vain yksi ominaisvektori $\implies$ {\em degeneroitunut noodi}, jos 
ominaisarvo $\lambda<0,$ nielu (stabiili) ja jos $\lambda >0,$ niin lähde, 
epästabiili. Trajektori eivät ulkonäöltään paljon eroa noodityylistä.\\
\quad -
Puhtaasti imaginaariset ominaisarvot ($\pm b i$), {\em keskus}, heikosti
stabiili. Trajektorit ellipsejä.\\
\quad -
Kompleksiset ominaisarvot $\lambda=\alpha \pm i \beta$, {\em lähdespiraali},
jos $\alpha>0$, epästabiili, ja {\em nieluspiraali}, jos $\alpha<0$,
stabiili. Trajektorit elliptisiä spiraaleja.

%\end{itemize}

{\bf Linearisointi:} 

Olkoon DYS 
$\begin{cases}
x' = f(x,y)\\
y' = g(x,y).
\end{cases}
$
ja olkoon $(a,b)$ kriittinen piste (KRP), ts. $f(a,b)=g(a,b)=0.$\\
Pisteessä $(a,b)$ linearisoitu systeemi tarkoittaa systeemiä\\
 $\left[ \begin {array}{c} u'\\\noalign{\medskip}v'\end {array} \right] =
A\,  \left[ \begin {array}{c} u\\\noalign{\medskip}v\end {array}
 \right],$ missä $u=x-a,\ \ v=y-b$ ja $A$ on Jacobin matriisi:

$A = J_F(a,b) = \left[ \begin {array}{cc} {\frac {\partial }{\partial x}}f \left( x,y \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}f \left( x,y \right) 
\\\noalign{\medskip}{\frac {\partial }{\partial x}}g \left( x,y
 \right) &{\frac {\partial }{\partial y}}g \left( x,y \right) 
\end {array} \right] 
 $

%tapahtuu laskemalla kriittiset pisteet (KRP).
%Jos $ {\bf p_0}$ on KRP, niin linearisoidun systeemin matriisi 
%on 
%diff.yhtälön määrittelevän (vektoriarvoisen) funktion ${\bf f}$
%Jacobin matriisi 
%$({\frac {\partial}{\partial y_{{j}}}}f_{{i}}(y_1,...y_n)))$


Jos linearisoidun systeemin O:n luonne on keskus 
(ominaisarvot puhtaasti
imaginaariset), se ei välttämättä kerro alkuperäisen epälineaarisen
systeemin KRP:n luonnetta. Muissa tapauksissa ($\Re(\lambda)\neq 0$)
sensijaan kertoo. 



{\bf Matlab-ohjelma} {\tt pplane7} (tai pplane6 tms. vanhemmalle Matlab-versiolle), kts tehtäväpaperin alussa olevat viitteet),  on helppokäyttöinen ja 
havainnollinen-ohjelma faasitasopiirroksiin. Tarvitsee vain kopioida
tiedosto Matlabpolun varrelle ja antaa Matlabissa komento \\ 
\verb_>> pplane7_,
joka avaa graafisen käyttöliittymän. Mitään muuta \matl-osaamista ei tarvita.
Ei toimi Octavessa.\\
%Ohjelma liittyy kirjaan {\it Golubitsky--Dellnitz: Linear Algebra and Differential Equations}, koodin on kirjoittanut {\it John Pohlking}.\\
%\textbf{Huom:} Tässä koodissa on yli 1000 riviä Matlabin GUI-ohjelmakoodia, jollaista 
%mahdollisuutta ei ilmaisissa ohjelmissa, kuten Octave ole. Ei siis toimi
%Octavessa.



\end{document}





Määritä matriisin $A=
\left[ \begin {array}{cc} 3&-2\\\noalign{\medskip}1&-1\end {array} \right]
$
ominaisarvot ja -vektorit. Piirrä koordinaatistoon ominaisvektorit $\v_1$ ja
$\v_2$ sekä $\lambda_1\,\v_1$ ja $\lambda_2\,\v_2$.

\item
Määritä matriisin $A=
\left[ \begin {array}{ccc} 4&0&1\\\noalign{\medskip}-2&1&0\\\noalign{\medskip}-2&0&1\end {array} \right]
$
ominaisarvot ja suurinta ominaisarvoa vastaavan ominaisavaruuden kanta(vektori). Tarkista, että ominaisarvo/vektori-määritelmän ehto toteutuu.

Neuvo: Kehitä determinantti sen rivin/sarakkeen suhteen, jossa on eniten nollia. \\
Vast: Kysytty ominais(kanta)vektori: $\lbrack -1, 1, 1\rbrack^T$


\item
Määritä $h$ matriisissa $A = \left[ \begin {array}{cccc} 5&-2&6&-1\\\noalign{\medskip}0&3&h&0\\\noalign{\medskip}0&0&5&4\\\noalign{\medskip}0&0&0&1\end {array}
 \right] $ niin, että ominaisarvoa $\lambda=5$ vastaava ominaisavaruus on $2-$ulotteinen. Mitä voit tällöin sanoa tämän ominaisarvon algebrallisesta kertaluvusta, ja
minkälainen tekijä siis esiintyy karakterisitisessa polynomissa?



\item %2
Määritä seuraavien lineaarikuvausten ominaisarvot ja -vektorit laskematta, pelkän geometrisen kuvailun
perusteella.
\begin{itemize}
\item[(a)] Peilaus $y$-akselin suhteen tasossa $\R^2$,
%\item[(b)] Venytys $\R^3$:ssa tekijällä $4$, 
\item[(c)]
Matriisilla
$A= \left[ \begin {array}{cc} 0&2\\\noalign{\medskip}2&0\end {array}
 \right] 
\ \ $ kertominen.
\item[(c)] Heijastus $yz$-tason suhteen $\R^3$:ssa.
\item[(d)] Kohtisuora projektio y-akselille $\R^2$:ssa.
\end{itemize}
(Laskeminen LV-tehtäväksi)


\item
Määritä matriisin $A=
 \left[ \begin {array}{cc} 1&-2\\\noalign{\medskip}1&3\end {array}
 \right] $
ominaisarvot ja -vektorit.\\
Ohje: Kompleksitapauksessa on erityisen hyödyllistä huomata, että $2\times 2-$
matriisin ominaisvektori määräytyy suoraan jommasta kummasta yhtälöstä, ei siis
tarvita rivioperaatioita. (Kts. myös yleisiä ohjeita.)





\item
Matriisilla $A= \left[ \begin {array}{ccc} 2&2&1\\\noalign{\medskip}1&3&1
\\\noalign{\medskip}1&2&2\end {array} \right] 
$
on kaksinkertainen ominaisarvo $\lambda=1$.
Määritä sitä vastaavan ominaisavaruuden kanta.
%Laskematta mitään lisää päättele, onko matriisi diagonalisoituva vai ei.
\\
Mitkä ovat ominaisarvojen algebralliset kertaluvut $M_\lambda$
ja geometriset $m_\lambda$? \\
Vihje: Toista ominaisarvoa ja vastaavaa ominaisvektoria ei tarvitse laskea
(ellet välttämättä halua).

\end{enumerate}


\subsubsection*{Loppuviikko (7)}

\begin{enumerate}
\item
Laske AV-tehtävän 4 ominaisarvot. 
%Kun luet ohjeet, saat osan laskutyöstä "ilmaiseksi".


\item
Stokastinen matriisi $P$ tarkoittakoon sellaista, jonka alkiot ovat 
ei-negatiivisia
ja sarakesummat $=1$. \footnote{KRE-kirjassa otetaan rivisummat $=1$.}
Osoita, että $1$ on aina $P$:n ominaisarvo.\\
%Esimerkkinä edellisen tehtävän matriisi)\\
Vihje: Väite on helppo osoittaa transposille $P^T$, ajattele ominaisvektorin
määritelmää ja mitä saat, jos kerrot $P^T$:llä vektorin
$\lbrack 1,1,\ldots, 1\rbrack$.

\item
Eräässä valtiossa pidettiin parlamenttivaalit kolmen puolueen $P_1,\ \ P_2,\ \
 P_3$ kesken. Puolueiden kannatusosuuksien viikoittaista muutosta vaaleja edeltävän puolen vuoden aikana kuvaa
siirtymämatriisi
$P=
\left[ \begin {array}{ccc}  0.7& 0.1& 0.1\\\noalign{\medskip} 0.2& 0.8& 0.2\\\noalign{\medskip} 0.1& 0.1& 0.7\end {array} \right]$.

(a) Määritä matriisin suurinta ominaisarvoa vastaava ominaisvektori
ja päättele, mitä rajaosuuksia kannatusluvut lähestyvät, kun viikkomäärä
kasvaa (tässä ei päästä äärettömyyteen, mutta raja-arvo antaa riittävän
tarkan approksimaation).

(b) Kokeile joillain alkujakaumilla $\mathbf{x_0}$ (siis "todennäköisyysvektoreilla", eli
sellaisilla, joiden summa $=1$ (tai $100$)) ja laske
$x_1 = P\, x_0$ , $x_2 = P\, x_1,\ \ \ldots ,$   
Käytä ihmeessä Octavea/Matlabia! Miten nopeasti pääset lähelle raja-arvoa?
\item
(a) Osoita,
ett\"a  jos $\lambda$ on $A$:n ominaisarvo ja $\Ve{x}$ vastaava ominaisvektori, niin $\lambda^k$ on $A^k$:n ominaisarvo,
ja samainen $\Ve{x}$ on vastaava ominaisvektori.

(b) Oletetaan, ett\"a $A$ on k\"a\"antyv\"a. 
Osoita, ett\"a $\lambda^{-1}$ on $A^{-1}$:n
ominaisarvo ja \Ve{x} siihen liittyv\"a ominaisvektori (yhtä hyvin $A x$).
Mist\"a tied\"at, ett\"a $\lambda \ne 0$?


%(c) Osoita, että reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain toistensa liittolukuja.

Vihje: (a): Tarvitset vain määritelmää. \\
Mieti (b)-kohdan loppukysymyksessä: Mitä merkitsee kääntyvyyteen nähden, jos ominaisarvo on $0$ ? Ajattele vaikkapa 
homogeeniyhtälön ratkaisuja tms.  \\






%\item
%(a)
%Osoita, että jos $A$ on sekä diagonalisoituva että kääntyvä, niin myös
%$A^{-1}$ on diagonalisoituva\\
%(b) 
%Osoita, että jos $n\times n$-matriisilla $A$ on $n$ {\tt LRT} ominaisvektoria,
%niin sama pätee transposille $A^T.$


\item
%$A=
%\left[ \begin {array}{cc} 8&-1\\\noalign{\medskip}5&2\end {array} \right]
%$
Päättele matriisia 
$A= \left[ \begin {array}{ccc} 2&2&1\\\noalign{\medskip}0&1&2
\\\noalign{\medskip}0&0&-1\end {array} \right]$
katsomalla, että se on diagonalisoituva,
ja laske diagonalisointiesitystä hyödyntäen $A^6.$\\
Ohje: Ominaisvektorimatriisi on myös kolmiomuotoinen, joten käänteismatriisi
saadaan parilla hassulla "alhaalta ylös" rivioperaatiolla. Matriisioperaatioihin (kuten kertolaskuihin) saat toki mieluusti käyttää ohjelmia tai muuta 
"matriisilaskinta".

\item

(a) Olkoon $A$ $5\times 5$-matriisi, jolla on kaksi erillistä ominaisarvoa.
Toinen ominaisavaruus on 2- ja toinen 3-ulotteinen. Onko $A$ diagonalisoituva?

(b) 
Olkoon $A$ $3\times 3$-matriisi, jolla on kaksi erillistä ominaisarvoa.
Kumpaankin liittyvä ominaisavaruus on 1-ulotteinen. (Eli kummankin geometrinen
kertaluku $=1$. Onko $A$ diagonalisoituva?

(c)
Olkoon $A$ $4\times 4$-matriisi, jolla on kolme erillistä ominaisarvoa.
Yhden geometrinen kertaluku $=1$ ja yhden taas $2$. Onko mahdollista,
että $A$ ei ole diagonalisoituva?

(d)
Olkoon $A$ $7\times 7$-matriisi, jolla on kolme erillistä ominaisarvoa.
Yhden geometrinen kertaluku $=2$ ja toisen $=3$. Onko mahdollista,
että matriisi ei ole diagonalisoituva?





\end{enumerate}

\subsubsection*{Ohjeita, ominaisarvo-oppia}

\begin{itemize}
\item
\textbf{Ominaisarvo} on luku, se voi olla kompleksiluku, vaikka matriisi olisi reaalinen. 
\item
\textbf{Ominaisvektori} on (reaalisen matriisin tapauksessa) $\R^n$:n tai $\C^n$:n vektori sen mukaan,
onko vastaava ominaisarvo reaalinen vai kompleksinen.
\item Ominais{\bf arvo saa} aivan mainiosti {\bf olla $0$}, ominais{\bf vektoriksi emme hyväksy nollavektoria}.
\item Ominaisarvoon $\lambda$ liittyvä {\bf ominaisavaruus} $E_\lambda$ 
koostuu kaikista $\lambda$:aan liittyvistä ominaisvektoreista
ja lisäksi nollavektorista. Tällöin kyseessä on vektori(ali)avaruus, nimittäin matriisin $A-\lambda I$
nolla-avaruus, $N(A-\lambda I)$. %, jota merkitsemme $E_\lambda$.
\item
Ominaisarvon $\lambda_j$ {\bf algebrallinen kertaluku} $M_{\lambda_j}$ on
karakteristisen polynomin $\det(A-\lambda I)$ juuren kertaluku. 
{\bf Geometrinen kertaluku} $m_{\lambda_j}$ on $\dim(E_{\lambda_j}).$\\
Pätee: $m_{\lambda_j} \leq M_{\lambda_j}$


\item
Jos reaalisella matriisilla $A$ on \textbf{kompleksinen} ominaisarvo 
$\lambda=\alpha + i\,\beta,$ niin myös  $\overline{\lambda}=\alpha-i\,\beta$
on $A:$n ominaisarvo. Jos $\mathbf{v}$ on $\lambda:$aa vastaava ominaisvektori, niin liittolukua $\overline{\lambda}$ vastaava ominaisvektori on 
$\overline{\mathbf{v}}.$ (Tarkoittaa vektoria, jonka koordinaatit ovat $\mathbf{v}:$n koordinaattien liittolukuja.) 

\item
Jos on määrättävä diagonaalimatriisin ominaisarvot ja -vektorit, niin laskentatyötä ei jää lainkaan.
Älä siis suotta ryhdy veivaamaan $\det(A - \lambda I)$:n kautta. 
(Koko ominaisarvohomman perustavoite
on saattaa lineaarikuvauksen matriisi diagonaalimuotoon. Jos se jo on, niin mitään ei tarvitse
enää tehdä, kunhan osaat siitä lukea.) \\

\item
Kolmiomatriisin (ylä- tai ala-) ominaisarvot ovat diagonaalialkiot.
(Siis yleistys edelliselle, tässä tapauksessa ominaisvektoreista ei
voida sanoa mitään yleistä.)

\item
Kun pyydetään laskemaan johonkin ominaisarvoon liittyvät ominaisvektorit, on sopivaa antaa vastaukseksi
ominaisavaruuden kanta. 
Helpoimmin se saadaan antamalla ratkaisun 
vapaille muuttujille vuorollaan arvot ( $1,0,0$) ,  ($0,1,0$) , ($0,0,1$) 
(jos kyseessä on 3-ulotteinen ominaisavaruus). Tässähän on kyse nolla-avaruuden kannan määräämistehtävästä.
%(Jos yhtään vapaata muuttujaa ei ilmaannu, olet tehnyt laskuvirheen, miksi?)

\item
Eri ominaisarvoihin liittyvät ominaisvektorit ovat {\tt LRT}.

\item
Diagonalisointi: Annettu $A$. Etsittävä, jos mahdollista, matriisit $V$ ja $D$,
$V$ kääntyvä ja $D$ diagonaalimatriisi siten, että $A = V D V^{-1}$.\\
Jos tehtävänä on diagonalisoida $A$, etsitään matriisit $V$ ja $D$ ja 
perustellaan $V$:n kääntyvyys. 
(Yleensä ei vaadita $V^{-1}$:n laskemista ilman eri kehoitusta, tai jatkotehtävän asettamaa tarvetta.)

\item
Octave/Matlab-komentoa \texttt{eig} kannattaa käyttää ainakin tarkistukseen.
Muoto \verb_[V,D]=eig(A)_ antaa suoraan diagonalisointimatriisit: $V:$n sarakkeina ominaisvektorit ja $D:$n diagonaalilla (samassa järjestyksessä) 
ominaisarvot. Jos $A$ on diagonalisoituva, niin $V:$n sarakkeet ovat LRT, jolloin voidaan muodostaa $V^{-1};$ Matlab/Octavella: \texttt{inv(V)}.
\end{itemize}


\end{document}





\item
Ajatellaan, että erään asutuskeskuksen asukkailla on kahden operaattorin,
R ja S matkapuhelinliittymiä. 
%\footnote{Laskutyön rajoittamiseksi joudumme jättämään 
%mm. operaattorin T pois.}
Liittymien vaihtoa kuukaudessa edustakoon
siirtymämatriisi

$$P=
\left[ \begin {array}{cc}  0.6& 0.3\\\noalign{\medskip} 0.4& 0.7
\end {array} \right].
$$

\footnote{Siirtymämatriisi esitetään transponoituna KRE-kirjan vastaavaan
nähden.}

Tässä sarakkeet tarkoittavat {\it elatiivia} (sta) ja rivit 
{\it illatiivia} (aan).
1. sarake ja 1. rivi viittaavat R:aan, 2. vastaavasti S:aan.



(a)
Laske matriisin ominaisarvot ja %suurempaa ominaisarvoa vastaava
ominaisvektorit ja totea, että ne muodostavat $\R^2$:n kannan.

%$\V{v}_1$ ja kerro, miksi ominaisvektorit muodostavat 
%$\R^2$:n kannan.

(b) 
Olkoon alkuhetkellä liittymien määrät $\vec{x}_0 = 
\lbrack R,S\rbrack = \lbrack 1000, 1500 \rbrack$.
Laske määrät vuoden kuluttua (Matlabilla) tai parin kolmen kuukauden 
kuluttua, jos käsin haluat laskea.

(c)
Lausu alkupiste $\Ve{x}_0$  ominaisvektorikannassa:
$\Ve{x}_0=c_1 \Ve{v}_1+ c_2 \Ve{v}_2$.

Mitä rajavektoria lähestyy jono $\Ve{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?

Ylimääräinen pohdinta: Riippuuko rajavektorin komponenttien suhde alkuarvosta
$x_0$ ?


%(b) 
%Tarkastellaan iteraatiota $\V{x}_{k+1}=P \V{x}_k, k=0,1,\ldots$.
%Olkoon alkupiste $\V{x}_0$ esitetty ominaisvektorikannassa:
%$\V{x}_0=c_1 \V{v}_1+ c_2 \V{v}_2$.

%Mitä rajavektoria lähestyy jono $\V{x}_k$, kun $k\to \infty$ ?


%Esitä sitten alkupistevektori (vaikkapa)
%$\V{x}_0=
% \left[ 
%    \begin {array}{c} 0.5\\
%    \noalign{\medskip}0.5
%\end {array} 
%\right]$ 
%ominaisvektorikannan avulla, ja selvitä, mihin tilanne asettuu, kun monta
%kuukautta on kulunut.


%\item 
%Matriisilla 
%$A$ on ominaisarvot $\lambda_1=2$, $\lambda_2=4$, $\lambda_3=6$.
%Vastaavat ominaisvektorit ovat
%$$x_1=(1,0,1)^T, x_2=(1,1,0)^T, x_3=(0,1,1)^T .$$
%M\"a\"arit\"a $A$. Lupaus: Käänteismatriisin saat laskea Matlab:lla (tms.).

\item %2
(a)
Totea, että matriisi
$A=
\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}0&\cos \left( 
\phi \right) &-\sin \left( \phi \right) \\\noalign{\medskip}0&\sin
 \left( \phi \right) &\cos \left( \phi \right) \end {array} \right]
$
on ortogonaalinen.

(b) Kuvaile $A$:n määräämän lineaarikuvauksen toiminta geometrisesti.

(c) Määritä $A$:n ominaisarvot ja -vektorit, ja tarkista, että niillä on ortogonaaliselle
matriisille asiaankuuluvat ominaisuudet.

Huom! Reaalisen ominaisarvon ja -vektorin voit päätellä kuvauksesta suoraan, laskematta.

\item %3
(a)
Esitä symmetrinen matriisi 
$A=
\left[ \begin {array}{cc} 8&6\\\noalign{\medskip}6&8\end {array}
 \right]
$
Muodossa $A=P D P^{T},$ missä $D$ on diagonaalimatriisi ja $P$ ortogonaalinen

(b) Oletetaan, että symmetrisellä $3\times3$-matriisilla on kaksi erisuurta ominaisarvoa.
Lause sanoo, että symmetrisen matriisin ominaisarvojen algebrallinen ja geometrinen kertaluku on sama.
Selitä, miten muodostat (a)-kohdan tyylisen ortogonaalisen diagonalisoinnin.

Vihje: Saat pitää tunnettuna\emph{Gram--Schmidt'n,} 
ortogonalisointimenettelyä, jonka mukaan mielivaltainen sisätuloavaruuden {\tt LRT}
vektorijoukko voidaan ortogonalisoida, siis muodostaa sen virittämälle
aliavaruudelle ortonormali kanta. Mieti geometrisen mallikuvan avulla,
miten 1. askel tehtäisiin tason vektoreille, idea riittää.


\item %4
%Tarkastellaan matriisin $A$ määrääm
Olkoon $A=
 \left[ \begin {array}{cc} 3/2&1/\sqrt {2}\\\noalign{\medskip}
1/\sqrt{2}&1\end {array} \right]. 
$
Määritä $A$:n määräämän lineaarikuvauksen pääakselien suunnat ja venytys/kutistuskertoimet.
Hahmottele yksikköympyrän kuvaellipsi käsin. \\
(``Vapaaehtoisesti'' saat toki mieluusti piirtää myös 
 \matl:lla, malli {\tt .../L/ominarvot.pdf}.)

\item
(a)
Mitä tyyppiä ovat matriisit ja mitä sillä perusteella
voidaan jo päältäpäin sanoa ominaisarvoista?

 $A=\left [\begin {array}{cc} 0&1\\\noalign{\medskip}-1&0
\end {array}\right ]$
 $B=\left [\begin {array}{cc} {\frac {i}{2}}&{\frac {\sqrt 
{3}}{2}}\\\noalign{\medskip}{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{
\frac {i}{2}}\end {array}\right ]$
 $C=\left [\begin {array}{cc} {\frac {\sqrt {3}}{3}}&{
\frac {i\sqrt {6}}{3}}\\\noalign{\medskip}-{\frac {i
\sqrt {6}}{3}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\end {array}
\right ]$ \\
(b)
Laske ominaisarvot ja -vektorit, saat (mutta ei ole pakko) käyttää 
\matl:n {\tt eig}- komentoa tyyliin \texttt{[V,D]=eig(A)} (kts. 
\texttt{help eig}.)

\end{enumerate}

\subsubsection*{Matlab-ohjeita}

%\begin{itemize}

%\item

\textbf{Ominaisarvot ja diagonalisointi}

Esim: 
\begin{verbatim}
>> A=[3 -3 2;-1 5 -2;-1 3 0]; 
>> [V,D]=eig(A)
\end{verbatim}
Nyt $V:$n sarakkeina ovat $A:$n ominaisvektorit, $D$ on diagonaalimatriisi, jossa vastaavilla kohdilla ovat $A:$n ominaisarvot.\\
Mikäli $V$ on kääntyvä, saadaan suoraan $A:$n diagonalisointi, kun lasketaan vielä \texttt{Vinv=inv(V)}. ($V$ on kääntyvä $\iff$ $A$ on diagonalisoituva.)

\matl\/ normeraa ominaisvektorit yksikkövektoreiksi. Jos haluat mukavammannäköisiä lukuja, saatat saada sen aikaan (näissä pikkulelutehtävissä) 
jakamalla esim. ko. vektorin ensimmäisellä komponentilla, vaikka tähän tapaan:
\begin{verbatim}
>> v1=V(:,1); v1=v1/v1(1) 
>> v2=V(:,2); v2=v2/v2(1) 
>> v3=V(:,3); v3=v3/v3(1)  % Tässä ei auta.
\end{verbatim}

Kaiken voit hoitaa yhdellä kertaa kertomalla oikealta diagonaalimatriisilla, jossa ovat diagonaalilla ao. käänteisluvut, kas näin: \\
\texttt{V*diag(1./V(1,:))}



%\end{itemize}




Hylätyt:

\item
Olkoot matriisin $A$ ominaisarvot $\lambda_1=2,\lambda_2=-1, \lambda_3=-2$
ja vastaavat ominaisvektorit $v_1=[2,1,1],\ \ v_2=[-1,1,1],\ \ v_3=[0,-1,1]$.
Määritä $A^{-1}$. 
%A=\left [\begin {array}{ccc} 1&1&1\\\noalign{\medskip}1
%&-1&1\\\noalign{\medskip}1&1&-1\end {array}\right 

Matriisialgebraan ja käänteismatriisiin saat käyttää Matlabia.



\item{\bf K} (max 3 p.) 
%(Parityössä kaikki kohdat, yksilötyössä riittää kaksi.)
Mitä kartioleikkausta edustavat seuraavat yhtälöt.
(a) {$x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=5$}
(b){$3x_1^2+4\sqrt{3}x_1x_2 + x_2^2=9$}
(c){$x_1^2+6x_1x_2+9x_2^2=10$}

Muunna yhtälö pääakselimuotoon ja piirrä kuva. Ota mallia {\tt KRE}
Exa 6 s. 412 ja {\tt /p/edu/mat-1.443/teht/paakseli.mws}. Voit myös
katsoa: {\tt http://www.math.hut.fi/teaching/y3/harj/tyo/heigen.html}

Muista: Hyperbelin luonteva parametriesitys on $x=a\cosh t,\ \ y=b\sinh t$
%ja paraabelinhan osaat.







\end{enumerate}




\end{document}
\item
Määritä matriisin
$ A = \left[ \begin {array}{ccccc} -3&6&-1&1&-7\\\noalign{\medskip}1&-2&2&3
&-1\\\noalign{\medskip}2&-4&5&8&-4\end {array} \right] 
$
riviavaruuden row$(A)$ ja sarakeavaruuden col$(A)$ kanta sekä nolla-avaruuden
$N(A)$ dimensio.

\item
Määritä edellisen tehtävän nolla-avaruuden kanta.

\item
Olkoon $A$ kääntyvä neliömatriisi. Osoita, että \\
(a) $A^2$ on kääntyvä ja $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$, \\
(b) $A^T$ on kääntyvä ja $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

\item
Olkoon $A$ neliömatriisi, jonka kaikki päälävistäjän alapuoliset alkiot
ovat nollia. (Sanotaan: $A$ on yläkolmiomatriisi.)
Osoita, että det$(A)$ on päälävistäjän alkioiden tulo. Osoita sama asia
myös alakolmiomatriisille.

\item
Tason kierto kulman $\phi$ verran voidaan esittää kompleksitason kuvauksena 
$w=F(z)=e^{i\phi} z$, kuten hyvin tiedämme.
Kirjoita tämän (lineaari)kuvauksen matriisiesitys, ts. esitä $w=F(z)$ 
muodossa

$\vec{w}=A \vec{z},$ missä $\vec{w}=\left[ \begin {array}{c} u\\\noalign{\medskip}v\end {array} \right] $ ja  $\vec{z} =\left[ \begin {array}{c} x\\\noalign{\medskip}y\end {array} \right] $


\item
Olkoon $T$ tason lineaarikuvaus itselleen, joka on yhdistelmä kahdesta kuvauksesta. Ensin suoritetaan tyyppiä ``horizontal shear'' 
(``vaakasuora leikkaus'') oleva, joka kuvaa yksikkövektorin $\e_1$ itselleen 
ja $\e_2$:n
vektorille $\e_2 - 0.5\,\e_1$. Jatkoksi pannaan heijastus pystyakselin
($x_2-$akselin) suhteen.
Määritä kuvauksen matriisi. \\
Ohje: Katso, miten kantavektorit $e_1$ ja $e_2$ kuvautuvat yhdistetyssä kuvauksessa. Tai: Määritä kummankin kuvauksen matriisi ja kerro ne keskenään.\\
Huvi \& hyöty : Kokeile Matlab-piirtoa.


\end{enumerate}

\textbf{Ohjeita}


Tehtävät 1 ja 2 menevät samoilla rivioperaatioilla.
Muista, mikä ero on rivi- ja sarakeavaruuksien kannoilla. Syy tähän on se, että
rivioperaatioissa muodostetaan rivivektorien lineaarikombinaatiota, siis 
pystytään riviavaruudessa. Sensijaan \textbf{rivioperaatioissa ei} yleensä 
muodostu \textbf{sarakevektorien lineaarikombinaatioita}, eihän!\\
Muista myös, että vektoriavaruuden kanta on kaikkea muuta kuin yksikäsitteinen,
oikeita vastauksia on siis paljon.% tosin suosittelemallamme menetelmällä päädytään samaan.

Tehtävä 2 ratkaistaan normaaliin tapaan merkitsemällä mielellään vapaita
muuttujia vaikka $s,t,\ldots$. Kirjoitetaan ratkaisu muotoon $M$ kertaa
vapaiden muuttujien vektori, jolloin M:n sarakkeet ovat N(A):n kanta. (Tai 
kirjoitetaan suoraan muodossa $s\v_1 + t\v2+\ldots$ .)
Miksi ovat (aina) LRT?

Tehtävä 3:
Käänteismatriisille riittää toinen ehto $AX=I$ tai $XA=I$. Tämä johtuu
esim. siitä, että $r(A)=r(A^T)$ (joka on yksi "lineaarialgebran ihmeen" 
ilmenemismuoto).


Lineaarikuvaus määräytyy kantavektorien kuvista. Matriisi peruskantojen
suhteen saadaan latomalla kantavektorien kuvat sarakkeiksi.

\textbf{Tason lineaarikuvaukset ja tietokonegrafiikka}

Monikulmio voidaan esittää 2-rivisenä matriisina, jonka sarakkeet edustavat
koordinaattipisteitä. Esim. Kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä $(0,0),
(1,1),(1,-1)$ voitaisiin esittää matriisina
$T=\left[ \begin {array}{cccc} 0&1&1&0\\\noalign{\medskip}0&1&-1&0\end {array} \right].$

Kärkipisteet yhdistetään janalla tässä järjetyksessä.
Matlab:ssa voidaan nyt piirtää: {\tt plot(T(1,:),T(2,:))}.
Jos tähän sovelletaan lineaarikuvausta, eli kerrotaan matriisilla $A$, saadaan
kuvan kärkipisteet $S=AT.$ Matlabilla voitaisiin siten kirjoittaa
{\tt S=A*T; plot(S(1,:),S(2,:))}.\\
Lisää aiheesta L-hakemiston LA3.html:ssä. Kokeile myös:\\
{\tt http://math.tkk.fi/teaching/v/matlab/laode/map.m}. 
\end{document}
Kehittynyt interaktiivisen Matlab- työkalu: 
lineaarikuvausten havainnollistamiseen \\
{\tt http://math.tkk.fi/teaching/v/matlab/laode/map.m}. Aseta se Matlab-polkusi
varrelle (esim. {\tt addpath}-komennolla) ja sano {\tt map}.
(Kirjoittanut John Pohlking, University of Houston (?))

Maplella on myös kätevää tehdä vastaavaa. Etuna erityisesti animaatioiden teon
helppous. Aiheeseen liittyviä työarkkeja tulee L-sivulle.



\end{document}


Kun puhutaan lineaarisesta yhtälösysteemistä (tai -ryhmästä) $A\,\x = \b,$
tarkoitetaan yleistä $m\times n-$ tilannetta, ellei toisin mainita.
\begin{enumerate}

\item
Miksi lineaarisella yhtälösysteemillä $A\,\x = \b$ ei voi olla 
tasan kahta ratkaisua? \\
Vihje: Voit vedota yleiseen {\tt LINSYS}-lauseeseen (jos haluat käyttää
raskasta kalustoa), voit myös tanssia kepeämmin pelkin lineaarisuuden
tarjoamin askelkuvioin tyyliin: ``ei kahta ilman kolmannetta''. \\
Kehoitus: Mieti myös geometrista tulkinta 2- ja 3-ulotteisissa
tapauksissa.

\item
(a) Olkoon $3\times 5$ \emph{kerroinmatriisilla} $A$ kolme tukisaraketta.
Onko systeemi $A\,\x = \b$ konsistentti.\\
(b) Olkoon $3\times 6$-systeemin \emph{liitännäismatriisin} $\tilde{A}$
kuudes sarake tukisarake. Onko systeemi konsistentti vai ei?\\
(c) Olkoon systeemin kerroinmatriisin $A$ jokaisella rivillä tukialkio.
Selvitä, miksi systeemi on konsistentti. 



\end{enumerate}



%\subsection*{Ohjeita}

\end{document}




\begin{center}
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj4lva.eps} 
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj4lvb.eps} 
\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj4lvc.eps} 
\end{center}
(a) x-nurkat: $-2,-1,1,2$, y-arvot: $0,1$,\quad
(b) x-nurkat: $-2,0,3$, \\ y-arvot: $0,2,0$,\quad
(c) x-nurkat: $-2,2$, y-arvot: $-1,1$.




\item
Määritä seuraavat käänteismuunnokset: 
$f(t)=({\cal L}^{-1}\lbrace F(s)\rbrace)(t)$, kun




\begin{center}
(a) $F(s) = {\frac {{e^{-5\,s}}}{s}}$, \quad 
(b) $F(s) = {\frac {{e^{-3\,s}}}{ \left( s-2 \right) ^{2}}}$,\quad 
(c) $F(s) = {\frac {s{e^{-2\,s}}}{{s}^{2}+9}}$.
\end{center}
Vast. (b) $ \left( {e^{2\,t-6}}t-3\,{e^{2\,t-6}} \right)u\left( t-3 \right) $


\item %3
Ratkaise alkuarvotehtävä $y'' + 2 y' = \begin{cases} 0, 0 \leq t < 1 \\
                           1, t \ge 1      \end{cases},\ \ y(0)=0,  y'(0)=1 .$

%u(t-1), \ \ y(0)=0,  y'(0)=1 .$

%($u$ on jälleen yksikköaskel-  eli {\em Heavisiden funktio}.)
%jota siis usein merkitään myös $u$:lla.
%$u(t)=\begin{cases} 0, t < 0 \\
%                           1, t > 0
%      \end{cases}$

Vast: $y(t)=-1/2\,{e^{-2\,t}}+1/2+u(t-1)\left (1/2\,t-3/4+1/4\,{e^{-2\,t+2}}
\right )$

\textbf{Elämänviisaus:} Älä hyvä ihminen milloinkaan, missään olosuhteissa
yritä ratkaista tällaista tehtävää kahdessa osassa, kahden eri herätteen vallitessa. Se on kyllä mahdollista, mutta ...
tähän mennessä jokainen yritys on tuottanut kokeessa 0 pistettä.
(Nimim. ``kokemusta on'').




\end{enumerate}


\subsection*{Ohjeita}

\subsection*{Vakiokertoimiset lineaariset differentiaaliyhtälöt}

Kertauksena 1--2-kurssien asioista:

Yhtälö $a\,y'' + b\,y' + c\,y = r(t)$ ratkaistaan vaiheittain:\\
1. Homogeeniyhtälön yleinen (HY) ratkaisu: Lähdetään yritteellä 
$y(t)=e^{\lambda\,t}$. Kun tämä sijoitetaan (HY):öön, saadaan 2. asteen yhtälö
"ominaisarvojen" $\lambda$ määräämiseksi. Jos juuret ovat kompleksiset, johdutaan
Eulerin kaavan avulla ratkaisuihin $e^{\alpha\,t}\cos\,\beta\,t$ ja 
$e^{\alpha\,t}\sin\,\beta\,t$, missä $\lambda=\alpha\pm i\,\beta.$\\
(HY):n yleinen ratkaisu on $y_h=C_1\,e^{\alpha\,t}\cos\,\beta\,t+
C_2\,e^{\alpha\,t}\sin\,\beta\,t$.\\
2. Epähomogeenisen (EHY) yleinen: Etsitään jokin (EHY):n erityisratkaisu $y_e.$
(EHY):n yleinen on $y=y_h+y_e$ ((HY):n yleinen + (EHY):n erityinen).
Erityisratkaisun etsintä tapahtuu yritteellä, joka ensiyrityksellä on samaa
muotoa kuin oikean puolen "heräte". Tässä siis $y_e=a\,\cos\,t + b\,\sin\,t.$
(Koska $\cos' = -\sin,$ ei pärjätä pelkällä kosinitermillä.) Kertoimet määrätään, jos voidaan siten, että yhtälö toteutuu. (Ellei voida, on yrite väärää 
muotoa.) 
\\
3. Alkuarvotehtävä (AA). Otetaan ja ratkaistaan alkuehtojen (AE) perusteella
vakiot $C_1$ ja $C_2.$

\end{document}

\subsection*{Laplace-muunnokset}

%{\tiny Alla oleva teksti tulee tässä muodossa välikoe- ja 
%tenttitehtäväpapereihin mukaan.}

\textbf{Määritelmä: }
Annettu $f(t)$, ${\cal L}f=F$, $F(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$ 
\quad {\bf Merk.} $u(t)=H(t)$=yksikköaskelfunktio . \\
$({\cal L}f')(s)=s F(s)-f(0),\quad ({\cal L}f'')(s)=s^2 F(s)-s f(0)-f'(0),$
${\cal L}\lbrace \int_0^t f(\tau)d\tau \rbrace ={\frac{1}{s}}F(s), \ \ 
{\cal L}(f*g)=({\cal L}f)({\cal L}g), (f*g)(t)=\int_0^t f(t-\tau)g(\tau)d\tau = (g*f)(t)$

${\cal L}\lbrace e^{at} f(t) \rbrace = F(s-a), \ \ 
 {\cal L}\lbrace u(t-a)f(t-a) \rbrace = e^{-as}F(s), \ \
{\cal L}\lbrace \delta(t-a)\rbrace = e^{-as}$

\vskip 0.25 cm

{\bf Laplace-taulukko}

%\hrule 

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$f(t)$ & $t^k$  & $e^{at}$ & $\cosh at$ &  $\sinh at$ &  
 $\cos \omega t$ & $\sin \omega t$  \\ \hline \hline

$F(s)$ & ${\frac{k!}{s^{k+1}}}$  & ${\frac{1}{s-a}}$ & ${\frac{s}{s^2-a^2}}$
& ${\frac{a}{s^2-a^2}}$  & ${\frac{s}{s^2+\omega^2}}$ & 
${\frac{\omega}{s^2+\omega^2}}$
\\ \hline 
\end{tabular}

%\include{/home/apiola/tex/osamurto}
%% Liitä tenttipaperiin, jos tarpeen  tex/osamurto.tex %% 29.8.02

\subsection*{Osamurtokehitelmät}

Olk. $F(s)={\frac{P(s)}{Q(s)}}$, missä $\textit{deg}(P) < \textit{deg}(Q)$
\\
1) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s-a$, otetaan kehitelmään termi
${\frac{A}{s-a}}.$
\\
2) Jos $Q(s)$:llä on yksinkertainen tekijä $s^2+b s+c$, tulee kehitelmään termi
${\frac{Bs+C}{s^2+b s+c}}$, jos halutaan operoida reaalisilla kertoimilla.
\\
3) Jos em. muotoa olevat termit esiintyvät korkeammassa potenssissa, sanokaamme
$r$, otetaan termit
${\frac{A_1}{s-a}}+{\frac{A_2}{(s-a)^2}}+\hdots +{\frac{A_r}{(s-a)^r}}$
ja vastaavasti toisessa tapauksessa termit
${\frac{B_1s+C_1}{s^2+b s+c}}+\hdots + \frac{B_rs+C_r}{(s^2+b s+c)^r}$



\end{document}

\item %6
Paloittain jatkuva funktio $f$ on {\em exp-kertalukua}
\footnote{Huom: {\bf Painovirhe}: KRE8 s. 256 Theorem 3 kaava (2),
oikealla oltava $e^{+k t}$}
, jos on olemassa
vakiot $M>0,\ \ \sigma>0$ siten, että


$|f(t)| \leq M e^{\sigma\, t}, \ \  \forall t \geq 0$  

a) Osoita, että $e^{t^2}$ ei ole exp-kertalukua.

b) Onko exp-kertalukua olevan funktion derivaatta exp-kertalukua.

Vihjeet: (a) Jos tuollainen epäyhtälö olisi voimassa, niin se pätisi
myös logaritmeille ...\\
(b) Tarkastele vaikkapa funktiota $f(t)=\sin(e^{t^2})$.








\item %
Diagonalisoi alla olevat matriisit, jos mahdollista. Kielteisessä
tapauksessa perustele diagonalisoitumattomuus.
Myönteisessä tapauksessa laske $A^{25}$.

a)  $A=\left [\begin {array}{ccc} 0&0&1\\\noalign{\medskip}0
&0&1\\\noalign{\medskip}1&1&1\end {array}\right ]$
b) $A=\left [\begin {array}{ccc} 1&0&0\\\noalign{\medskip}
                                 2&1&0\\\noalign{\medskip}
                                 0&0&3 \end {array}\right ]$

Ohje: Saat käyttää Matlabia rutiinilaskuihin, kuten matriisikertolaskuihin, käänteismatriisiin ym. Sovitaan, että saat (a)-kohdassa käyttää
 komentoa {\tt eig} ominaisarvoihin, mutta et ominaisvektoreihin,
(b)-kohdassa kannattaa muistella
vanhoja harjoituksia. Matriisipotensiin ei kelpaa \verb_>> A^25_.
(Toki kaikki on sallittua tarkistukseen.)