\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
Muodosta interpolaatiopolynomi pisteist\"olle, joka saadaan laskemalla
funktion $\cos (1+x^2)$ arvot tasav\"alisess\"a x-pisteist\"oss\"a, jossa
on 7 pistett\"a v\"alill\"a $[0,3]$.% ({\tt xdata=linspace(0,3,7)})
Piirr\"a samaan kuvaan funktio, datapisteet ja interpolaatiopolynomi.

Arvioi (Lagrangen) interpolaatiokaavan virhetermin avulla interpolaatiovirheen
yl\"araja yo. v\"alill\"a ja vertaa todelliseen.

\textbf{Lause} Olkoot $x_0,x_1,\ldots,x_n$ erilliset pisteet ja $f$ $(n+1)$ 
kertaa jatkuvasti derivoituva funktio $x_k-$pisteet sis\"alt\"av\"all\"a v\"alill\"a.
Jos $p_n$ on (1-k\"as) dataan $(x_k,f(x_k))$ liittyv\"a interpolaatiopolynomi,
niin 
$$f(x)-p_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1) \cdots
(x-x_n).$$


%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}


\begin{vihje}
T\"ass\"a on mahdollista harrastaa Maplen ja Matlabin yhteisty\"ot\"a. Virhekaavan derivaatta muodostetaan tietysti Maplella ja lauseke sievennet\"a\"an. Itse asiassa piirt\"am\"all\"a ja poimimalla kuvasta maksimipisteen koordinaatit, saadaan riitt\"av\"an hyv\"a arvio. Tulotermin voisi hoitaa tehokkaimmin Matlabissa ottamalla tihe\"an diskretoinnin ja k\"aytt\"am\"all\"a max-funktiota. Maplessalin on max-funktio, lakenta on Matlabissa tehokkaampaa.\\
Miten tulotermi lasketaan Matlabissa? Vaikka t\"ah\"an tapaan:\\
 1. \verb_ x=linspace(....,N)_ \\
 2. Ted\"a\"an matriisi X, jossa x-vektoreita allekkain n+1 kpl. \\
 3. Tehd\"a\"an matriisi X0, jossa rivit
        \begin{verbatim}
           x0 x0 ... x0   N kpl.
           x1 x1 ... x1   N kpl.
            ...
           xn xn ... xn   N kpl.
        \end{verbatim}
  N\"am\"a syntyv\"at vaikka \texttt{meshgrid}-komennolla tai ulkotuloilemalla
  ykk\"ospystyvektorilla.\\
 4. V\"ahennet\"a\"an matriisit ja \texttt{prod(prod())}.\\

Tosi Matlabmaista!

\end{vihje}
\vskip 2mm
%\hrule
%\begin{ratk}
%\end{ratk}
%\hrule

%\textbf{Avainsanat:}
\end{tehtava}
\end{Tehtava}