\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}

\begin{itemize}

\item[a)]
Osoita, ett\"a funktio $\arctan \frac{y}{x}$ toteuttaa
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyht\"al\"on}

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .$$

(T\"allaisia funktioita sanotaan {\em harmonisiksi funktioiksi}.)

\item[b)]
Oletetaan, ett\"a funktioilla $u(x,y)$ ja $v(x,y)$  on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns.
{\em Cauchy-Riemannin} yht\"al\"ot:

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \
\frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y} $$

Osoita, ett\"a $u$ ja $v$ ovat harmonisia.

\item[c)]
Olkoon $f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)$. Laske osittaisderivaatat
$f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{yxx}$ ja totea, ett\"a ne ovat samat.

\end{itemize}

\begin{verbatim}
\end{verbatim}


\begin{vihje}

\end{vihje}
\vskip 2mm
%\hrule
%\begin{ratk}
%\end{ratk}
%\hrule

%\textbf{Avainsanat:}
\end{tehtava}
\end{Tehtava}