\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{4}{7}{13 -- 15.2.2002}

1. välikokeen alue sisältää harjoitukset 1--4 sekä muutaman kertaustehtävän
harjoituksissa 5. Luentoalue katkeaa viikolla
7 tarkemmin ilmoitettavaan luentoon.

Hiihtolomaviikolla (8) ei pidetä luentoja, mutta harjoitukset pidetään.
Viikko 9 puolestaan on välikoeviikko, jonka kunniaksi on vapaata 
harjoituksista. %(mutta ei vapaaehtoisesta harjoittelusta).


\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item
Mitkä ovat seuraavien funktioiden luonnolliset määrittelyjoukot:

a) $f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}$, \quad 
b) $f(x,y)=\ln(1+xy)$ \quad
c) $f(x,y)=\arcsin(x+y)$ .


Piirrä (käsin) tasoon kunkin määrittelyjoukon kuva. 
Mitä topologisia ominaisuuksia 
joukoilla on? ({\em avoin, suljettu, rajoitettu, yhtenäinen, joukon reuna}, 
jne.)


\item
Muodosta edellisen tehtävän funktioiden korkeuskäyrien (tasa-arvokäyrien)
yhtälöt. Muodosta myös pystyleikkauskäyrät tasojen $x=1$ ja $y=1$ kanssa
kussakin tapauksessa.
Hahmottele (edelleen käsin) kuvia. (Saat toki kokeilla Maplea, mutta 
käsin hahmottelutaito on myös välttämätön.)

\item
Onko seuraavilla funktioilla raja-arvo, kun $(x,y)\to (0,0)$ :

 $$\textrm{a)}\ \ \frac{x}{|x|+|y|} \qquad  \textrm{b)}\ \ 
\frac{x^2}{|x|+|y|}$$

\item
Olkoon $f:\R^2 \rightarrow \R$,


$$
f(x,y) = \begin{cases}
         1,\ \ x^2 < y < 2 x^2, \\
         0, \ \  \textit{muulloin} .
          \end{cases}
$$


Osoita, että funktiolla on sama raja-arvo origossa lähestyttäessä mitä
tahansa suoraa pitkin, mutta siitä huolimatta varsinaista raja-arvoa
ei ole olemassa. Missä pisteissä funktio on jatkuva ja missä taas ei?

{\bf Ohje:} Kulje erityisesti O:sta alkavaa nousevaa sädettä (kulmakerroin posit.)
1. neljänneksessä kulkien sitä alaspäin kohti origoa. Mitä tapahtuu lopulta,
kun ollaan riittävän lähellä O:a?

%Vast

%Piirrä kuvaaja funktion rajoittumasta mielivaltaiselle origon kautta
%kulkevalle suoralle; tutki tätä varten, missä pisteissä ko\. suora leikkaa
%paraabelit $y = x^2$ ja $y = 2x^2$. Funktio on epäjatkuva näillä
%paraabeleilla.

\item
(a)
Muodosta funktion  $\ln(1+e^{x^2 y^3 z}) $ 1. kertaluvun 
osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen.

(b)
Osoita, että funktio $\arctan \frac{y}{x}$ toteuttaa
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön}

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .$$

(Tällaisia funktioita sanotaan {\em harmonisiksi funktioiksi}.)

\item
Oletetaan, että funktioilla $u(x,y)$ ja $v(x,y)$  on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns.
{\em Cauchy-Riemannin} yhtälöt:

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \
\frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y} $$

Osoita, että $u$ ja $v$ ovat harmonisia.






\end{enumerate}

\subsubsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item
Tee joitakin AV-tehtäviin 1--4 liittyviä visualisointeja. Katso myös lopussa
olevaa Maple-ohjetta ja {\tt ..L/pintoja.mws}-työarkkia malliksi.
Tehtävä on vapaamuotoinen, suorituksen suhteen riittää parin funktion tarkastelu mielellään aika monipuolisesti. (Kenties innostut tekemään enemmänkin ihan
vaan asian harrastuksesta.)

\item
Olkoon $f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)$. Laske osittaisderivaatat
$f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{yxx}$ ja totea, että ne ovat samat.

Voit antaa Maplen laskea.


\item
Laske yhdistetyn funktion derivoimissääntöä (eli ketjusääntöä, "chain rule")
käyttäen $\frac{\partial w}{\partial s}$ ja 
$\frac{\partial w}{\partial t}$, kun

(a) $w=x\ln(x^2+y^2),\ \ x=s+t, y=s-t$ , \\
(b) $w=e^{x+2y}\sin(2x-y), \ \ x=s^2+t^2, \ \ y=2s^2-t^2$

Tee käsin ja tarkista Maplella.

\item % Ad s. 739 teht. 11, V: s. 448 
Kolmionmuotoisen maa-alan kahden sivun mitatut pituudet ovat 
$224$ m ja $158$ m ja niiden välinen kulma $64^\circ$ .
Pituusmittauksen virheraja on $0.4$ m ja kulman $2^\circ$ .
Mikä on pinta-alan likimääräinen suhteellinen maksimivirhe.

Vast: n. $2$ \%

\item
Osittaisderivoituvan funktion $f:\R^2 \to \R$ {\em gradientti} $\nabla f$ 
määritellään näin $\nabla f(x,y)=f_x (x,y) \V{i} + f_y(x,y) \V{j}$ .

Olkoon $f(x,y)=|xy|$ . \\
(a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) $f(x,y)=k, k=1,2,3$. \\
(b) Piirrä $f$:n gradienttivektoreita $\nabla f(x,y)$ tasa-arvokäyrien
pisteisiin. Kun käytät samaa skaalaa akseleilla ({\tt scaling=constrained}),  
pitäisi kuvasta näkyä, miten gradienttivektorin ja korkeuskäyrän suunnat
suhtautuvat toisiinsa.


\item
Työarkilla {\tt ../L/pintoja.mws} kohdassa "toinen esimerkki" tarkastellaan funktiota $f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}$.
Sekä plot3d- että contourplot-kuvat ovat lievästi sanoen harhaisia.
(Toki erilaisilla optioilla voi plot3d-kuvaa olennaisesti parantaa.)
Selvitä, minkälainen kuvaaja todellisuudessa on.
Tarvitset taas sekä Maplea että kynää ja paperia. 
Piirtele myös pystyleikkauksia, oikeita korkeuskäyriä ym.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Maple-ohjeita}

Usein pintapiirrosta voidaan täsmentää ja tarkentaa ja ymmärtää paremmin,
kun piirretään sopivia avaruuskäyriä pinnalle {\tt spacecurve}:lla.

Alla on esimerkki, jossa
piirretään napasädettä
pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkauskäyrä sekä käyrän 
projektio
xy-tasossa. Varsin käyttökelpoinen tapa monessa yhteydessä. Tätä voi modifioida
tarpeen mukaan.


\begin{verbatim}
> with(plots):
> f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
> x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
> pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
> x:='x':y:='y':  # On hyvä muistaa vapauttaa.
> pinta:=plot3d(...):   # Muista tässä tavassa lopettaa kaksoispisteeseen.
> display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour); 
> display(pystyleikkaus);  # Katsotaan pelkkää leikkauskäyrää. 
\end{verbatim}

\end{document}

\item
Olkoon $f:\R^2 \to \R$:
$$
f(x,y)=\begin{cases}
          x+y, \ \ \textit{kun} \ \ x=0 \ \ \textit{tai} \ \ y=0 \\
          1, \ \ \textit{muuten}
       \end{cases}
$$
Osoita, että $f$:llä on osittaisderivaatat 0:ssa, mutta $f$ ei ole jatkuva
0:ssa

\item
Oletetaan, että olet ostamassa asuntoa ja pyydät pankista lainaa.
Takaisinmaksu suoritetaan kuukausittain maksettavin vakioeräisin
maksuin (annuiteetti). Kokonaislaina-aika olkoon 30 vuotta.

a) Miten suuren lainan voit ottaa, jos maksimikuukausierä, jonka voit 
irrottaa, on $100$ euroa.

b) Kuinka paljon kuukausierää tulee nostaa, jos haluatkin maksaa lainan
20 vuodessa.

Oletetaan, että korkoprosentti on $5$.

Voit tehdä Maple-työarkin, jossa nimeät ensin kaikki asiaan vaikuttavat
parametrit, niitä voit tarpeen tullen muutella.

Vaikka tehtävä on helppo ratkaista muutenkin, suosittelen Z-muunnosta, ehkäpä
se tekee pankinjohtajaasi suuren vaikutuksen.

Voit keksiä muitakin asiankuuluvia kysymyksiä, kuten korkoprosentin muutoksen
vaikutus ym.

Tehtävä hyväksytään ilmankin Z-muunnosta, mutta suositellaan voimakkaasti
Z-muunnoksen käyttöä luennolla esitetyn mallin mukaisesti.
(Aineksia lisäplussaan on.)