\documentclass[finnish,11pt,twocolumn]{article}
\usepackage{/home/apiola/tex/v2harj}
\usepackage[dvips]{epsfig}
%\include{/home/apiola/tex/defs}
%\usepackage{v23harj}
%\include{defs}
\def\abs#1{\vert #1\vert}      
\def\norm#1{\Vert #1\Vert}      
\def\innerp#1{\langle #1 \rangle}
\def\vnormone#1{\sum_k \vert #1_k \vert}
\def\vnorminf#1{\max_k \vert #1_k \vert}
\def\mnormone#1{\max_j \sum_i \vert#1_{ij}\vert}
\def\mnorminf#1{\max_i \sum_j \vert#1_{ij}\vert}
\def\rv{\hfill\break}
\def\matl{{\sc Matlab}}
\def\maple{{\sc Maple}}
%\def\Arg#1{\textit{Arg} #1}
\def\Arg{{\textit{Arg}}\ \ }
\def\erf{{\textit{erf}}\ \ }

\begin{document}

%\vspace{0.2cm}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}

\harjoitus{7}{11}{13 --- 15.3.2002}



\subsection*{Alkuviikko (AV)}


\begin{enumerate}

\item %1
Muodosta funktion $f(x,y)=\cos(x+\sin y)$ 
toisen asteen Taylorin polynomi kehitettynä $(0,0)$:ssa.
Miten hyvän approksimaaton saat arvolle $f(0.1,-0.2)$ ? (Vertaa laskimen antamaan arvoon,
ei tarvitse miettiä jäännöstermiarviota.)

\item %2
Määritä funktion $f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}$ astetta 2 oleva Taylorin
polynomi kehitettynä pisteessä $(2,1)$


%Vihje: Tarkoitus on harjoitella yleistä kaavaa (kts. lopun kaavakokoelmaa).
%Toisaalta kannattaa myös harkita geometrisen sarjan alkupään käyttöä
%muokkaamalla muotoon $c\frac{1}{1+t}$, missä $t$ on lauseke, jossa esiintyy
%$(x-2)$:n ja $(y-1)$:n potensseja.

%Kumpi tahansa tapa kelpaa.


\item %3
Lausu neliömuodon $q(x)=x^T A x$ definiittisyydet symmetrisen matriisin
$A$ ominaisarvojen (merkkien) avulla.
(Määritelmä paperin lopussa.)

Vihje: Lausu neliömuoto pääakselikoordinaattien
$y_i$ avulla, sitten voit lukea kuin avointa kirjaa.

\item %4
Osoita $2 \times 2$ symmetrisen matriisin $A$ tapauksessa, että
matriisi on 
\begin{itemize}
\item
definiitti (pos. tai neg.), jos ja vain jos $\det(A) > 0$ ,
\item
indefiniitti, jos ja vain jos $\det(A) < 0$ ,

\item 
semidefiniitti, jos ja vain jos $det(A)=0$

\end{itemize}

Vihje: Kirjoita 
$A=\left [\begin {array}{cc} a&c\\\noalign{\medskip}c&b\end {array}\right ]
$
ja muodosta karakteristinen polynomi. Käytä hyväksesi toisen asteen yhtälön juurien
ominaisuuksia. (Jos et muista, niin kerro auki $(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$.)


\item %5
Määritä funktion 
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$  %\quad (b) $f(x,y)=\cos x + \cos y$
kriittiset pisteet (KRP)
ja niiden luonne.
(min/max/satula/singulaari)

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%% AV:n loppu %%%%%%%%%%
%\footnote{Kriittinen piste: osittaisderivaatat nollia}.


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}

\item %1
Määritä funktion $f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}$ asteita 2,3 ja 4 olevat Taylorin
polynomit kehitettynä pisteessä $(2,1)$ (Sama kuin AV, mutta nyt Maplella)

Kts. myös harj7ohje.mws


\item %2
Muodosta funktion $f(x,y)=\cos(x+\sin y)$ 
Taylorin polynomeja kehitettynä $(0,0)$:ssa, vaikkapa asteeseen 
$8$ saakka.

Piirrä funktio $f(x,y)$ ja eriasteisia Taylorin polynomeja, samoin voit
piirtää tehtävän 1 kohdalla.
Olkoon piirtäminen tässä kuitenkin ``vapaaehtoista''.


Huom! Tehtävät 1 ja 2 on tarkoitus tehdä käyttäen Maplea ennenkaikkea 
"derivointilaskimena".

Lopuksi kannattaa kokeilla myös valmiin mtaylor-funktion käyttöä.

\item %3
Määritä funktion (sama kuin AV-tehtävässä)
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$    
kriittiset pisteet (KRP)
ja niiden luonne.
%(min/max/satula/singulaari)
Havainnollista piirroksin.

Ohje: Yhtälösysteemin ratkaisu: \verb_ solve({yht1,yht2},{x,y});_ Polynomiyhtälöissä
kannattaa usein jatkaa komennolla {\tt allvalues}. Numeerinen ratkaisu: {\tt fsolve}

\item %4
Sama kuin edellä funktiolle
$f(x,y)=\cos x + \cos y$

\item %5
(Sopii puhtaasti käsinlaskuun, toki saa käyttää Maplea laskuapualaisena.)

Joudut tekemään vastuunalaisen päätöksen mitoista
valmistettaessa laatikkoa.
Pohjamateriaali on kaksi kertaa niin kallista pinta-alayksikköä kohti
kuin sivu- tai kansimateriaali. Millä mitoilla saat V-tilavuuksisen
laatikon materiaalikustannukset minimoiduksi?
Perustele, että ratkaisusi on globaali minimi joukossa 
$\lbrace (x,y) | x>0, y>0 \rbrace$. (Toisia derivaattoja ei välttmättä
tarvita.)

\item %6
Ylimääräinen "projektitehtävä", saa tehdä 2:n hengen ryhmässä. Maksimisuoritus: 3 tavallista
rastia, menevät normaalin pistekiintiön yli.

Määritä funktion
$f(x,y)=1/x+1/y+\sin(x^2y^2)$ suurin ja pienin arvo 
joukossa $[1,2]\times [1,2]$

Annetaan aikaa harjoitukseen LV 8 saakka (pe 22.3.) 
\end{enumerate}



\subsection*{Ohjeita}

\subsubsection*{Neliömuotojen definiittisyys}

{\bf Määr:} Neliömuoto $q(x)=x^T A x$ (A on symmetrinen matriisi)
on 
\begin{enumerate}

\item
positiivisesti definiitti, jos $q(x) > 0$ $\forall x\neq 0$,

\item
negatiivisesti definiitti, jos $q(x) < 0$ $\forall x\neq 0$,
\item
positiivisesti semidefiniitti, jos $q(x) \ge 0$ $\forall x\in \R^n$
ja $\exists y\ne 0$, jolla $q(y)=0$,


\item
negatiivisesti semidefiniitti, jos $q(x) \leq 0$ $\forall x\in \R^n$
ja $\exists y\ne 0$, jolla $q(y)=0$,

\item
indefiniitti, jos $\exists x, y$ siten, että $q(x) > 0$ ja $q(y) < 0 .$ 

Samoja definiittisyyskäsitteitä käytetään myös symmetrisestä matriisista $A$.


\subsubsection*{Taylorin polynomit}

Kahden muuttujan Taylorin polynomi kehitettynä pisteesä $p$ voidaan kirjoittaa:

$$P_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} (h_1 D_1 + h_2 D_2)^k f(p)$$

Tästä on helppo arvata, miten useamman muuttujan polynomi rakentuu.

Erityisesti 2. asteen Taylorin kaava voidaan kirjoittaa muotoon

$$f(p+h)=f(p)+h^T \nabla f(p) + \frac{1}{2} h^T H_f(p)h + R_2(h),$$
joka pätee n:n muuttujan funktiolle sellaisenaan.
Tässä jäännöstermi $R_2(h)=||h||^3 O(h)$ . (Eli riittävän pienessä $p$:n ystössä pätee: $R_2(h)\leq M ||h||^3 $ jollain vakiolla $M$.)

\end{enumerate}

\subsubsection*{Kriittiset pisteet, ääriarvot}

Kriittinen piste (KRP) $p$: $\nabla f(p)=0$.\\
Kriittisen pisteen laatu selviää (jos selviää) Hessen matriisin $H_f(p)$ definiittisyydestä.

\end{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\item
(a) Määritä funktion
$f(x,y)=1/x+1/y+\sin(x^2y^2)$ suurin ja pienin arvo 
joukossa $[1,2]\times [1,2]$

(b) Määritä $f$:n pienin arvo koko $\R^2$:ssa

\item
Joudut tekemään vastuunalaisen päätöksen mitoista
valmistettaessa laatikkoa.
Pohjamateriaali on kaksi kertaa niin kallista pinta-alayksikköä kohti
kuin sivu- tai kansimateriaali. Millä mitoilla saat V-tilavuuksisen
laatikon materiaalikustannukset minimoiduksi?
Perustele, että ratkaisusi on globaali minimi joukossa 
$\lbrace (x,y) | x>0, y>0 \rbrace$. (Toisia derivaattoja ei välttmättä
tarvita.)

\item
Olkoon $f(x,y)=(y-x^2)(y-2x^2)$. Osoita, että origo on kriittinen piste.
Osoita edelleen, että se on paikallinen minimi, jos rajoitutaan 
mielivaltaiseen O:n kautta kulkevaan
suoraan. Osoita, että O ei ole funktion paikallinen minimi $\R^2$:ssa.

(Ehkä tämä herättää vanhoja muistoja raja-arvotehtävästä, jossa samoja 
paraabeleita tarkkailtiin.)

\item
a)
Määritä ja luokittele funktion $f(x,y)=x^2+2y^2-4x+4y$ kriittiset pisteet
(taitaa tässä olla vain yksi) ja niiden (sen) luonne. 
\footnote{Kriittinen piste: osittaisderivaatat nollia}.

b) Samat sanat (nyt ainakin monikko) funktiolle
$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$.
\item
Määritä funktion $f(x,y)=\cos x + \cos y$ kriittiset pisteet ja niiden luonne.



\end{enumerate}


\subsection*{Loppuviikko (LV)}

\begin{enumerate}


\item
Määritä funktion $f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}$ asteita 2,3 ja 4 olevat Taylorin
polynomit kehitettynä pisteessä $(2,1)$

Kts. myös harj7ohje.mws


\item %2
Muodosta funktion $f(x,y)=\cos(x+\sin y)$ 
Taylorin polynomeja kehitettynä $(0,0)$:ssa, vaikkapa asteeseen 
$8$ saakka.

Tietysti voit piirtää f:n ja eriasteisia Taylorin polynomeja, mutta jääköön
vapaaehtoisen harrastuksen varaan. 

Huom! Tehtävät 1 ja 2 on tarkoitus tehdä käyttäen Maplea ennenkaikkea "derivointilaskimena".

Lopuksi kannattaa kokeilla myös valmiin mtaylor-funktion käyttöä.


\item %1
%\item
%Määritä Lagrangen kertojamenetelmällä funktion $f(x,y)=x^3y^5$ maksimi suoralla
%$x+y=8$.

\item
Määritä Lagrangen kertojamenetelmällä funktion 
$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ maksimi- ja minimiarvot kartion 
$z^2=x^2+y^2$ ja tason $x-2z=3$ leikkausellipsillä.

\item %1
Lanka, jonka pituus on $L$ leikataan (sisältää myös yhden pätkän
mahdollisuuden, jolloin oikeasti ei leikata) 
korkeintaan kolmeen pätkään ja jokainen
pätkä taivutetaan neliöksi. Määritä neliöiden alojen summan maksimi ja minimi.


\item
Sovita PNS-suora dataan $(2,2),(5,4),(6,6),(9,9),(11,10)$
Piirrä datapisteet ja suora.

\item
Joulukuun 1--28 päivänä 1981 aurinko laski {\it Lund}:ssa klo 15.30:n ja 
15.45:n välillä seuraavan taulukon mukaisesti, missä x tarkoittaa päivää
($1 \leq x \leq 28$) ja y minuuttimäärää klo 15.30:n jälkeen, jolloin aurinko
laski. 

%\vfill\eject

\begin{verbatim}
     x     y     x     y

     1     8   19-21   3
     2     7   22-23   4
     3     6    24     5
    4-5    5    25     6
    6-7    4   26-27   7
    8-9    3    28     7
   10-18   2
\end{verbatim}

Data voidaan esittää varsin hyvin 2. asteen polynomilla. Määritä kertoimet 
a,b,c, piirrä data ja polynomi. Minä päivänä auringonlaskuaika saavuttaa
miniminsä mallin mukaan. (Kirjasta {\it Fröberg}: Numerical Analysis 1985)

%Nämä ovat keskenään vaihtoehtoisia.

\item
Sovita eriasteisia PNS-polynomeja vanhaan kunnon census-dataan.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
%\multicolumn{7}{|c|} \\ \hline
  Vuosi & 1940  & 1950  & 1960 & 1970 & 1980 & 1990 \\ \hline
  Väki & 132.165 &151.326 &179.323 &203.302 & 226.542 & 249.633  \\ \hline
\end{tabular}.


Kokeile eri muotoisia kantafunktioita (muista eri skaalaukset 
interpolaatiotehtävien yhteydessä).
(Huomaa, että normaaliyhtälöratkaisulla on taipumusta häiriöalttiuteen.)

\item
Tutustu ohjeiden mukaan numeerisiin optimointimenetelmiin, erityiseti
jyrkimmän laskeuman, eli "steepest descent", eli gradienttimenetelmään
ja Newtonin menetelmään (sekä optim. että yhtälösyst.)
Implementoi Maplella sopiva versio/yhdistelmä ja testaa. Ohjeita 
implementointiin ja
sopivia testiesimerkkejä annetaan.

\item
\item
Määritä Lagrangen kertojamenetelmällä funktion $f(x,y)=x^3y^5$ maksimi suoralla
$x+y=8$.

\item
Määritä funktion $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ maksimi- ja minimiarvot kartion 
$z^2=x^2+y^2$ ja tason $x-2z=3$ leikkausellipsillä.

\item
Sama kuin edellä funktiolle $$f(x,y)=\frac{xy}{2+x^4+y^4}$$

\item
Maplessa on linalg-pakkauksessa funktiot eigenvectors ja hessian. Laske tehtävien 3 ja 4 tapauksessa Hessen matriisin ominaisarvot ja -vektorit.
Tee hypoteesi, jolla uskot voivasi päättää ominaisarvojen merkkien avulla
KRP:n luonteen (tai sen, ettei luonteesta voi sanoa).

Täydennä näiden tehtävien kuvia piirtämällä ainakin johonkin KRP:een
ominaisvektorit.


\end{enumerate}

\subsubsection*{Esimerkkejä optimointiin ja epälin. systeemeihin}

\begin{enumerate}
\item 
$f(x,y)=e^x(4x^2+2y^2+4xy+2y+1)$

$f(x,y)=100(y-x^2)^2+(1-x)^2$  {\em Rosenbrockin banaanifunktio}

$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+10x_2^2+100x_2^2$



\end{enumerate}