H/ratk/harj 7.mws (AV ja LV ) 2002 HA Katso mallia my\313\206s luentoty\313\206arkilta L/mtaylor.mws restart: with(linalg): with(LinearAlgebra): with(plots): setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50],style=patchcontour): alias(Tr=Transpose): Ohjeita: LinearAlgebra/linalg-matriisit: Siirtym\342\200\260kauden hankaluus on tietorakennekonversiotarve. Suosituksia: H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); g:= Vector(grad(f(x,y),[x,y]); Kannattaa n\342\200\260in muuttaa vanhat rakenteet uusiksi, t\342\200\260ll\313\206in subs toimii normaalisti, samoin matriisikertolasku muodossa A.B;

f:=(x,y)->cos(x+sin(y)); 1. derivaatat: Katsotaan ensin derivaattafunktioita, vaikka niit\342\200\260 ei Maplella laskettaessa tarvitsisi edes n\342\200\260hd\342\200\260: D[1](f),D[2](f),D[1,1](f), D[1,1,2](f),D[1,2,2,2](f); Lasketaan sitten systemaattisesti kehityspisteess\342\200\260 p=(0,0). p:=0,0; D1f:=D[1](f)(p);D2f:=D[2](f)(p); D11f:=D[1,1](f)(p);D12f:=D[1,2](f)(p);D22f:=D[2,2](f)(p); D111f:=D[1,1,1](f)(p);D112f:=D[1,1,2](f)(p);D122f:=D[1,2,2](f)(p);D222f:=D[2,2,2](f)(p); T2:=f(p)+(D1f*h1+D2f*h2)+(1/2)*(D11f*h1^2+2*D12f*h1*h2+D22f*h2^2); h1:=0.1: h2:=-0.2: T2; f(h1,h2); f(h1,h2)-T2; T\342\200\260m\342\200\260 on samalla suhteellinen virhe. T\342\200\260ss\342\200\260 tapauksessa, kun kolmannet derivaatat O:ssa ovat nollia, kyseess\342\200\260 on samalla 3. asteen Taylorin polynomi ja j\342\200\260\342\200\260nn\313\206stermi on siten jopa || h^4|| O(h).

"Tuotantoajossa" emme turhan takia ota v\342\200\260liapumuuttujia, vaan kirjoitamme suoraan: h1:='h1': h2:='h2': Tay[4]:=T2+(1/4!)*(D[1,1,1,1](f)(p)*h1^4+4*D[1,1,1,2](f)(p)*h1^3*h2+6*D[1,1,2,2](f)(p)*h1^2*h2^2+4*D[1,2,2,2](f)(p)*h1*h2^3+D[2,2,2,2](f)(p)*h2^4); mtaylor(f(x,y),[x=0,y=0],5); Oikein meni, mutta alkaa olla tuskaista ja virhealtista. Eleganteimmasta p\342\200\260\342\200\260st\342\200\260 oleva oma koodi olisi se, jonka kirjoitin ty\313\206arkille mtaylor.mws T\342\200\260ss\342\200\260 on sekin hienous, ett\342\200\260 k\342\200\260ytt\342\200\260j\342\200\260n tarvitsee tuntea vain 1. muuttujan Taylorin lause, Maple johtaa sen ja ketjus\342\200\260\342\200\260nn\313\206n avulla laskiessaan samalla kahden muuttujan kaavan. Hintana t\342\200\260lle mukavuudella on a) laskenta on aika hidasta ja b) tuossa jouduin hieman kokeilemaan oikeanlaista j\342\200\260rjestyst\342\200\260 komenoille. 1) Osaamme periaatteessa laskea k\342\200\260sin editoiden (tarpeen mukaan Maplea esim. binomikaavan laskijana hy\313\206dynt\342\200\260en). 2) Opetteluvaiheen j\342\200\260lkeen tositarpeeseen voimme aina k\342\200\260ytt\342\200\260\342\200\260 mtaylor-funktiota. Katsotaan piirt\342\200\260mist\342\200\260 seuraavassa teht\342\200\260v\342\200\260ss\342\200\260. T\342\200\260ss\342\200\260 voitaisiin tehd\342\200\260 aivan samoin, mutta antaapa olla.

f:=(x,y)->1/(2+x-2*y);p:=(2,1); 1. derivaatat: Katsotaan ensin derivaattafunktioita, vaikka niit\342\200\260 ei Maplella laskettaessa tarvitsisi edes n\342\200\260hd\342\200\260: D[1](f),D[2](f); Lasketaan n\342\200\260iden arvot kehityspisteess\342\200\260 p:=(2,1): D1f:=D[1](f)(p);D2f:=D[2](f)(p); 2. derivaatat: D[1,1](f); Pysyv\342\200\260t k\342\200\260sinlaskukelpoisina, kun sis\342\200\260funktioista tulee vain vakioita. Lasketaan taas kehityspisteess\342\200\260: D11f:=D[1,1](f)(p);D12f:=D[1,2](f)(p);D22f:=D[2,2](f)(p); 3. derivaatat: D111f:=D[1,1,1](f)(p);D112f:=D[1,1,2](f)(p);D122f:=D[1,2,2](f)(p);D222f:=D[2,2,2](f)(p); T3:=f(p)+(D1f*h1+D2f*h2)+ (1/2)*(D11f*h1^2+2*D12f*h1*h2+D22f*h2^2)+ (1/3!)*(D111f*h1^3+4*D112f*h1^2*h2+4*D122f*h1*h2^2+D222f*h2^3); T3:=subs(h1=x-2,h2=y-1,T3); H:=0.6:display([plot3d(f(x,y),x=2-H..2+H,y=1-H..1+H),plot3d(T3,x=2-H..2+H,y=1-H..1+H,color=yellow)]); display([plot3d(T3,x=2-H..2+H,y=1-H..1+H,color=yellow)]);

restart: Neli\313\206muoto p\342\200\260\342\200\260akselikoordinaattien avulla lausuttuna on q:=Sum(lambda[i]*y[i]^2,i=1..n); 1) Jos kaikki ominaisarvot > 0, niin q:n arvot kaikissa O:sta poikkeavissa pisteiss\342\200\260 ovat > 0, joten pos. def. 2) Jos kaikki ominaisarvot < 0, niin q:n arvot kaikissa O:sta poikkeavissa pisteiss\342\200\260 ovat < 0, joten neg. def. 3) Jos kaikki ominaisarvot ei-negatiivisia ja jokin ominaisarvo 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, niin ensinn\342\200\260kin q >=0. Valitsemalla muut LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUklbXN1YkdGJDYlLUkjbWlHRiQ2JVEieUYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1GIzYjLUYvNiVRImlGJ0YyRjUvJS9zdWJzY3JpcHRzaGlmdEdRIjBGJw==:t 0:ksi ja 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, saadaan q:n arvoksi 0, eli q = 0 k:nnella ominaisvektorilla. Siis pos. semidef. 4) Neg. semidef. aivan vastaavasti. 5) Jos lambda[i] <0 ja lambda[j] > 0, niin valitsemalla muut y-koordinaatit 0:ksi, n\342\200\260hd\342\200\260\342\200\260n, ett\342\200\260 q > 0 yj-akselilla ja q<0 yi-akselilla.

alias(IdM=IdentityMatrix,IM=MatrixInverse): A:=<<a,c>|<c,b>>; p:=det(A-lambda*IdM(2)); # T\342\200\260ss\342\200\260 on k\342\200\260ytett\342\200\260v\342\200\260 linalgin det-funktiota, LinearAlgebran Determinant menee kummallisen virheeseen. p:=collect(p,lambda); #p:=algsubs(a*b-c^2=detA,%); expand((lambda-lambda[1])*(lambda-lambda[2])): collect(%,lambda); (Karakteristisen polynomin korkeimman asteen termin kerroin on (-1)^n, t\342\200\260ss\342\200\260 n=2.) 1) Jos detA > 0, ominaisarvot samanmerkkiset => definiitti. Koska ominaisarvojen summa = a+b ja a:n ja b:n oltava samanmerkkiset, niin ominaisarvojen merkki on sama kuin a:n merkki = b:n merkki 2) Jos detA < 0, ominaisarvot ovat erimerkkiset => indefiniitti. 3) Jos detA=0, on ainakin toinen ominaisarvo =0. (Toinen on joko > 0, < 0 tai =0 (jee!)). Niinp\342\200\260 semidefiniittisyys on tosiasia. Posit, jos a+b >0 ja negat, jos <0.

f:=x^3+y^3-3*x*y;g:=grad(f,[x,y]); Lasketaan ensin "k\342\200\260sin": x^2 =y y^2=x => x^4 = x => x=0 tai x=1 Saadaan pisteet (0,0) ja (1,1). N\342\200\260m\342\200\260 ovat KRP:t. Katsotaan, miten Maplen solve p\342\200\260rj\342\200\260\342\200\260: ratkaisujoukot:=solve({g[1]=0,g[2]=0},{x,y});#allvalues(%[3]); Saatiin samat reaaliset ratkaisut ja lis\342\200\260ksi muotoa RootOf olevia polynomiyht\342\200\260l\313\206it\342\200\260: ratkaisujoukot[3]; allvalues(%); Komento allvalues yritt\342\200\260\342\200\260 ratkaista RootOf-muotoja ja onnistuu saamaan kompleksiratkaisuja. Niist\342\200\260 emme ole kiinnostuneita. Onneksi osasimme p\342\200\260\342\200\260tell\342\200\260, ett\342\200\260 tuossa yll\342\200\260 olivat kaikki reaaliset ratkaisut, tied\342\200\260mme siten, ett\342\200\260 t\342\200\260ss\342\200\260 tapauksessa Maple l\313\206ysi ne kaikki. (No, teht\342\200\260v\342\200\260 ei ollut vaikea!) KRP:=<0,0>,<1,1>; H:=Matrix(hessian(f,[x,y]));H00:=subs(x=0,y=0,H);H11:=subs(x=1,y=1,H); K\342\200\260sin laskiessa p\342\200\260\342\200\260st\342\200\260\342\200\260n v\342\200\260h\342\200\260ll\342\200\260 laskemalla det: det(H00); Maplella voidaan yht\342\200\260 hyvin laskea suoraan ominaisarvot. Eigenvalues(H00); Johtop\342\200\260\342\200\260t\313\206s on sama: ominaisarvot erimerkkiset, joten (0,0) on satulapiste. det(H11),trace(H11); Trace laskee diagonaalialkioiden summan (tietysti riitt\342\200\260\342\200\260 katsahtaa matriisiin p\342\200\260in n\342\200\260hd\342\200\260kseen, ett\342\200\260 molemmat diagonaalialkiot ovat positiivisia). Katsotaan nyt viel\342\200\260 suoraan: Eigenvalues(H11); Varmaakin varmemmin: ominaisarvot positiiviset => (1,1) on min-piste. H:=0.5:plot3d(f,x=-H..H,y=-H..H,style=patchcontour,title="Satulapiste (0,0)");plot3d(f,x=1-H..1+H,y=1-H..1+H,style=patchcontour,title="Minimipiste (1,1)"); Siisti\342\200\260! plot3d(f,x=-2..3,y=-2..3,style=patchcontour,title="Laajempi alue");

f:=cos(x)+cos(y): nablaf:=grad(f,[x,y]); KRP: sin(x)=0 sin(y)=0 Ratk: LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2J1EhRicvJSdpdGFsaWNHUSV0cnVlRicvJStleGVjdXRhYmxlR0YxLyUwZm9udF9zdHlsZV9uYW1lR1EpMkR+SW5wdXRGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRictRiM2Ji1GLDYlUSJ4RidGL0Y3LUkjbW9HRiQ2LVEiPUYnL0Y4USdub3JtYWxGJy8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGRy8lKXN0cmV0Y2h5R0ZHLyUqc3ltbWV0cmljR0ZHLyUobGFyZ2VvcEdGRy8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkcvJSdhY2NlbnRHRkcvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZWLUYjNiUtRiw2JVEibUYnRi9GNy1GQDYtUTEmSW52aXNpYmxlVGltZXM7RidGQ0ZFRkhGSkZMRk5GUEZSL0ZVUSYwLjBlbUYnL0ZYRlxvLUYsNiVRJSZwaTtGJy9GMEZHRkNGK0Yr , 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 . Lasketaan Hessen matriisi kriittisiss\342\200\260 pisteiss\342\200\260. Tehd\342\200\260\342\200\260n laskut "k\342\200\260sin" H:=Matrix([[f11,f12],[f12,f22]]); f11:=diff(nablaf[1],x);f12:=diff(nablaf[1],y);f22:=diff(nablaf[2],y); H; Hkrp:=<<(-1)^(m+1),0>|<0,(-1)^(n+1)>>; Matriisi on diagonaalimatriisi, joten teht\342\200\260v\342\200\260 on valmiiksi p\342\200\260\342\200\260akselimuodossa (ominaisarvot p\342\200\260\342\200\260l\342\200\260vist\342\200\260j\342\200\260ll\342\200\260). P\342\200\260\342\200\260telm\342\200\260t: m ja n parittomia: ominaisarvot > 0, pos. def. ==> min m ja n parillisia: ominaisarvot < 0, neg. def. ==> min toinen parillinen ja toinen pariton : indefiniitti ==> satulapiste (ei \342\200\260\342\200\260riarvo) Koska n\342\200\260emme funktiosta suoraan, ett\342\200\260 -2 < = f(x,y) <= 2 ja paikalliset min/max-arvot ovat -2 ja 2, niin paikalliset \342\200\260\342\200\260riarvot ovat globaaleja koko R^2:ssa. Pisteiden vuorottelu tasossa voidaan vaikka esitt\342\200\260\342\200\260 matriisina, jossa 1 tarkoitta maksimia, -1 minimi\342\200\260 ja 0 satulapistett\342\200\260. <<-1,0,-1>|<0,1,0>|<-1,0,-1>>; Keskimm\342\200\260imm\342\200\260inen 1 edustaa O:a (m ja n parillisia). Matriisia vastaava pintakuva ja korkeusk\342\200\260yr\342\200\260kuva: plot3d(f,x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,axes=box,style=patchcontour); contourplot(f,x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,axes=box); plot3d(f,x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi,axes=box,style=patchcontour);

Edell\342\200\260 laskimme Maplella "k\342\200\260sin". Tyypillinen Mapleratkaisu voisi edet\342\200\260 seuraavaan tapaan: with(linalg): f:=cos(x)+cos(y);g:=Vector(grad(f,[x,y]));H:=Matrix(hessian(f,[x,y])); KRP:=[x=0,y=0],[x=0,y=Pi],[x=Pi,y=0],[x=Pi,y=Pi]; T\342\200\260m\342\200\260n teimme kuitenkin "k\342\200\260sin". T\342\200\260ss\342\200\260 on kaikki mahdollisuudet Hessen matriiseisksi: H1:=subs(KRP[1],H);H2:=subs(KRP[2],H);H3:=subs(KRP[3],H);H4:=subs(KRP[4],H); Loppu, kuten "k\342\200\260sinlaskussa".

Tilavuus: V. Sivu- ja kansimateriaali: a mk/m^2 Pohjamateriaali: 2a mk/m^2 restart: with(plottools);with(plots): display(cuboid([0,0,0],[1,1,1])); x*y*z=V; Kustannusfunktio: pohja*2a + (sivut+kansi)*a f:=(x,y,z)->x*y*2*a + (2*x*z+2*y*z+x*y)*a ; Tilavuusehdon perusteella voidaan yksi muuttuja eliminoida: g:=simplify(f(x,y,V/(x*y))); T\342\200\260ss\342\200\260 on siis minimoitava funktio (lauseke) joukossa x >0, y>0. dg1:=simplify(diff(g,x)); dg2:=simplify(diff(g,y)); K\342\200\260sin laskemalla saadaan vaivattomasti : xmin:=((2*V)/3)^(1/3); ymin:=xmin; zmin:=V/(xmin*ymin); minarvo:=f(xmin,ymin,zmin); g:=expand(g); Olkoon vaikkapa a=1 ja V=5. (Periaatteessa tilanne on aivan sam. olivatpa arvot mit\342\200\260 tahansa (positiivisia).) a:=1: V:=5: g; minarvo;evalf(%); display(plot([20/(3*x),0.5],x=0.5..12,color=red),plot([[0.5,12],[0.5,0.5],[0.5,3/0.5]],x=0.5..6),plot([[xmin,ymin]],style=point,symbol=cross,symbolsize=20,color=black),view=[0..12,0..12]); T\342\200\260ss\342\200\260 suljetussa ja rajoitetussa joukossa jatkuva funktio g saa minimins\342\200\260. Reunalla se ei sit\342\200\260 saa, koska kaikissa reunapisteiss\342\200\260 funktion arvo on suuremp kuin "ristipisteess\342\200\260", joka on KRP ja niin ollen ainoa mahdollinen minimipiste ja n\342\200\260inollen minimipiste. Punaisen alueen ulkopuolella g on kaikkialla viel\342\200\260kin suurempi, joten "ristipiste" on globaali minimi koko joukossa x>0, y>0 (avoimessa 1. koordinaattonelj\342\200\260nneksess\342\200\260). solve({dg1=0,dg2=0},{x,y}); map(allvalues,%);

with(linalg): f:=(x,y)->1/x+1/y+sin(x^2*y^2); g:=Vector(grad(f(x,y),[x,y])); H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); KRPyht:=g[1]=0,g[2]=0; Yht\342\200\260l\313\206t ovat mutkikkaat, mutta symmetrisen n\342\200\260k\313\206iset. Ei kannatta haaveillakaan, ett\342\200\260 solve p\342\200\260rj\342\200\260isi n\342\200\260ille. Ensimm\342\200\260inen "insight" voidaan saada piirt\342\200\260m\342\200\260ll\342\200\260 kummankin 0-korkeusk\342\200\260yr\342\200\260 ja etsim\342\200\260ll\342\200\260 niiden leikkauspisteit\342\200\260. display(implicitplot(g[1]=0,x=0.5..2,y=0.5..2),implicitplot(g[2]=0,x=0.5..2,y=0.5..2,color=blue)); KRPa:=fsolve({KRPyht},{x=1,y=1}); KRPb:=fsolve({KRPyht},{x=0.9,y=0.9}); KRPb:=fsolve({KRPyht},{x=1.5,y=1.5}); N\342\200\260ytt\342\200\260\342\200\260p\342\200\260 noita l\313\206ytyv\342\200\260n. display(implicitplot(g[1]=0,x=1.2..2,y=1.2..2),implicitplot(g[2]=0,x=1.2..2,y=1.2..2,color=blue)); implicitplot(g[2]=0,x=1.2..2,y=1.2..2,color=blue); Nyt on pakko ottaa kyn\342\200\260 ja paperi avuksi. K\342\200\260sin sievennys k\342\200\260y helposti ja johtaa: yhtsys:=x^3*y^2*cos(x^2*y^2)=1,x^2*y^3*cos(x^2*y^2)=1; Puolittain jakamalla: x=y,2*x^5*cos(x^4)=1; plot(2*x^5*cos(x^4)-1,x=0.9..2.1);plot(2*x^5*cos(x^4)-1,x=0.8..1.1); x1:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1);x2:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.4);x3:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.7);x4:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.8);x5:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.9); KRP:=[x1,x1],[x2,x2],[x3,x3],[x4,x4],[x5,x5]; plot3d(f(x,y),x=0.5..1.5,y=0.5..1.5); H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); H1:=subs(x=x1,y=x1,H);H2:=subs(x=x2,y=x2,H);H3:=subs(x=x3,y=x3,H);H4:=subs(x=x4,y=x4,H);H5:=subs(x=x5,y=x5,H); det(H1),[det(H2),trace(H2)],[det(H3),trace(H3)],[det(H4),trace(H4)],det(H5); P1: satulapiste, P2: min, P3: satula, P4: min, P5: satula plot3d(f(x,y),x=1..2,y=1..2); x0:=x1:H:=0.1:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H,style=patchcontour); [x1,x1],"on satula"; x0:=x2:H:=0.0005:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H,style=patchcontour); [x2,x2]," on minimi, vaikka kuvasta ei zoomaamallakaan aivan varmasti n\342\200\260e."; x0:=x3:H:=0.004:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x3,x3]," on satula, mutta loppuun saa zoomata, eik\342\200\260 aivan varmasti silti n\342\200\260e"; x0:=x4:H:=0.001:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x4,x4]," Hesse kertoo, ett\342\200\260 min, katsopa siit\342\200\260 nyt!"; x0:=x5:H:=0.001:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x4,x4]," Hesse kertoo, ett\342\200\260 satula."; f(x1,x1),f(x2,x2),f(x3,x3),f(x4,x4),f(x5,x5); plot([f(x,1),f(x,2),f(1,x),f(2,x)],x=1..2,color=[black,red,blue,green]); f(2,1.66);evalf(f(1,1)); Globaali johtop\342\200\260\342\200\260t\313\206s on siis: suurin [x1,x1],f(x1,x1); ja pienin KRP:ss\342\200\260 P4, arvo = 0.0980005359, joka on pienint\342\200\260 reuna-arvoa pienemnpi: 'f(2,1.66)'=f(2,1.66);'f(x4,x4)'=f(x4,x4); b)-kohta: Tarkoittaa minimi\342\200\260 1. koordinaattinelj\342\200\260nneksess\342\200\260. Korjattu versio: Osoita, ett\342\200\260 pienint\342\200\260 ei ole. T\342\200\260m\342\200\260 johtuu vaikkapa nyt siit\342\200\260, ett\342\200\260 suoralla y=x sini saa miten kaukana tahansa arvon -1 ja t\342\200\260t\342\200\260 suoraa pitkin funktion arvojen inf = -1, koska 1/x =1/y l\342\200\260henee 0:aa. Kuitenkaan arvoa -1 ei miss\342\200\260\342\200\260n saavuteta, koska siniin aina lis\342\200\260t\342\200\260\342\200\260n jotain positiivista (1/x+1/y). Aika ovela teht\342\200\260v\342\200\260, enp\342\200\260 ihmettele, vaikka Suvi ja Meri eiv\342\200\260t ihan joka yksityiskohtaa olisi jaksaneetkaan, vaan jaksoivat kaiken, mit\342\200\260 teht\342\200\260v\342\200\260ss\342\200\260 kysyttiin. (Nuo lokaalien luonteet olivat ylim\342\200\260\342\200\260r\342\200\260ist\342\200\260, mutta mielenkiintoista.) Itsell\342\200\260kin riitti riemua t\342\200\260st\342\200\260 ihan pitk\342\200\260\342\200\260n! Tuokin on tosi ovelaa, ett\342\200\260 funktiolla voi olla minimilaaksojen v\342\200\260liss\342\200\260 "harjanteita", jotka l\342\200\260helt\342\200\260 katsottaessa (laskettaessa) osoittautuvat "satulahuippuisiksi .

F:=1/x+1/y+x*y;plot3d(F,x=1/3..3,y=1/3..3/x,style=patchcontour); A:=Matrix([[17,6],[6,8]]); eigenvectors(A); display(plot(16/x^2,x=2..4),contourplot(x^2+y^2,x=0..4,y=0..16,contours=[6,7,8,9,10,11,12,13,15],color=blue),scaling=constrained);