Harj 8 LV 23.3.2001 restart:with(linalg): with(LinearAlgebra): with(plots): setoptions3d(axes=boxed,orientation=[-30,50],style=patchcontour): #read("c:\134\134opetus\134\134maple\134\134v201.mpl"): #read("/home/apiola/opetus/peruskurssi/v2-3/201/maple/v201.mpl"); read("/p/edu/mat-1.414/maple/v201.mpl"): alias(Tr=Transpose): Ohjeita: LinearAlgebra/linalg-matriisit: Siirtym\342\200\260kauden hankaluus on tietorakennekonversiotarve. Suosituksia: H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); g:= Vector(grad(f(x,y),[x,y]); Kannattaa n\342\200\260in muuttaa vanhat rakenteet uusiksi, t\342\200\260ll\313\206in subs toimii normaalisti, samoin matriisikertolasku muodossa A.B; Transpose ei toimi vektoreille. Ei kannata jumiutua t\342\200\260h\342\200\260n, vaan tehd\342\200\260 vaikka h:=<h1,h2>; ht:=<h1 | h2>; Toinen, huomionarvoinen mahdollisuus: Tehd\342\200\260\342\200\260n vektorin sijasta matriisi, lis\342\200\260\342\200\260m\342\200\260ll\342\200\260 toiset kulmasulut: hm:=<<h[1],h[2]>>;

f:=(x,y)->1/(2+x-2*y);p:=2,1: 1. derivaatat: D1f:=D[1](f)(p);D2f:=D[2](f)(p); 2. derivaatat: D11f:=D[1,1](f)(p);D12f:=D[1,2](f)(p);D22f:=D[2,2](f)(p); 3. derivaatat: D111f:=D[1,1,1](f)(p);D112f:=D[1,1,2](f)(p);D122f:=D[1,2,2](f)(p);D222f:=D[2,2,2](f)(p); T3:=f(p)+(D1f*h1+D2f*h2)+ (1/2)*(D11f*h1^2+2*D12f*h1*h2+D22f*h2^2)+ (1/3!)*(D111f*h1^3+4*D112f*h1^2*h2+4*D122f*h1*h2^2+D222f*h2^3); T3:=subs(h1=x-2,h2=y-1,T3); H:=0.6:display([plot3d(f(x,y),x=2-H..2+H,y=1-H..1+H),plot3d(T3,x=2-H..2+H,y=1-H..1+H,color=yellow)]); Geom. summa: T:=taylor((1/2)*1/(1+t),t=0,4); convert(%,polynom); subs(t=(x-2*y)/2,%);subs(x=2+h,y=1+k,%);expand(%);subs(h=x-2,k=x-1,%);

op(f); g:=Vector(grad(f(x,y),[x,y])); gp:=subs(x=2,y=1,g); H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y]));Hp:=subs(x=2,y=1,%); h:=<h1,h2>;hT:=<h1 | h2>; f(p)+gp.h+(1/2)*hT.Hp.h;expand(%);subs(h1=x-2,h2=y-1,%); T3;

f:=x^3+y^3-3*x*y;g:=grad(f,[x,y]); solve({g[1]=0,g[2]=0},{x,y});allvalues(%[3]); KRP:=<0,0>,<1,1>; H:=Matrix(hessian(f,[x,y]));H00:=subs(x=0,y=0,H);H11:=subs(x=1,y=1,H); det(H00); Siis ominaisarvot erimerkkiset, joten (0,0) on satulapiste. det(H11),trace(H11); Siis ominaisarvot positiiviset => (1,1) on min-piste. H:=0.5:plot3d(f,x=-H..H,y=-H..H,style=patchcontour);plot3d(f,x=1-H..1+H,y=1-H..1+H,style=patchcontour);

f:=(x,y)->cos(x)+cos(y);g:=Vector(grad(f(x,y),[x,y]));H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); KRP:=[x=0,y=0],[x=0,y=Pi],[x=Pi,y=0],[x=Pi,y=Pi]; H1:=subs(KRP[1],H);H2:=subs(KRP[2],H);H3:=subs(KRP[3],H);H4:=subs(KRP[4],H); T\342\200\260ss\342\200\260 on kaikki kombinaatiot, yleisesti, KRP:t: x=m*Pi, y=n*Pi. - Jos m ja parittomia, niin lam1 >0, lam2 >0 => min - Jos parillisia, niin < 0 ja < 0 => max - Jos toinen pariton ja toinen parill => satulapiste plot3d(f(x,y),x=-2*Pi..2*Pi,y=-2*Pi..2*Pi); f saa kaikissa minimeiss\342\200\260 arvon -2 ja maksimeissa arvon 2. Muita \342\200\260\342\200\260riarvoja ei ole (reunaa tai singulaaripisteit\342\200\260 ei ole). Siten -2 ja 2 ovat globaaleja min- ja max-arvoja. (Koska kyseess\342\200\260 on jaksollinen funktio, voitaisiin soveltaa kompaktia joukkoa koskevaa peruslausettakin, jos tarvetta olisi. Funkiohan saa kaikki mahdolliset arvonsa neli\313\206ss\342\200\260 [-Pi,Pi] x [-Pi,Pi].)

QyYtSSV3aXRoRzYiNiNJJ2xpbmFsZ0c2JCUqcHJvdGVjdGVkR0koX3N5c2xpYkdGJSEiIi1GJDYjSSZwbG90c0dGKEYr f:=(x,y)->1/x+1/y+sin(x^2*y^2); QyQtSSdwbG90M2RHNiI2Ji1JImZHRiU2JEkieEdGJUkieUdGJS9GKjsiIiIiIiMvRitGLS9JJWF4ZXNHRiVJJGJveEdGJUYu g:=Vector(grad(f(x,y),[x,y])); H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); KRPyht:=g[1]=0,g[2]=0; Yht\342\200\260l\313\206t ovat mutkikkaat, mutta symmetrisen n\342\200\260k\313\206iset. Ei kannatta haaveillakaan, ett\342\200\260 solve p\342\200\260rj\342\200\260isi n\342\200\260ille. Ensimm\342\200\260inen "insight" voidaan saada piirt\342\200\260m\342\200\260ll\342\200\260 kummankin 0-korkeusk\342\200\260yr\342\200\260 ja etsim\342\200\260ll\342\200\260 niiden leikkauspisteit\342\200\260. display(implicitplot(g[1]=0,x=0.5..2,y=0.5..2,grid=[30,30]),contourplot(g[2],x=0.5..2,y=0.5..2,color=blue,contours=30)); QyQtSShkaXNwbGF5RzYiNiQtSS1pbXBsaWNpdHBsb3RHRiU2Jy8mSSJnR0YlNiMiIiIiIiEvSSJ4R0YlOyQiIiYhIiIiIiMvSSJ5R0YlRjIvSSVncmlkR0YlNyQiJCsjRjwvSSZjb2xvckdGJUkkcmVkR0YlLUYoNicvJkYsNiNGNkYvRjBGNy9GPkklYmx1ZUdGJS9GOjckIiNnRklGLg== QyQtSShkaXNwbGF5RzYiNiQtSSxjb250b3VycGxvdEdGJTYoJkkiZ0dGJTYjIiIiL0kieEdGJTskIiImISIiIiIjL0kieUdGJUYwL0klZ3JpZEdGJTckIiQrI0Y6L0kmY29sb3JHRiVJJHJlZEdGJS9JKWNvbnRvdXJzR0YlNyMtSSRzZXFHJSpwcm90ZWN0ZWRHNiQ7JEYzRjMkRi1GMyRGMiEiIy1JLWltcGxpY2l0cGxvdEdGJTYnLyZGKzYjRjQiIiFGLkY1L0Y8SSVibHVlR0YlL0Y4NyQiI2dGVUYt 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 LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic= KRPa:=fsolve({KRPyht},{x=1,y=1}); KRPb:=fsolve({KRPyht},{x=0.9,y=0.9}); KRPb:=fsolve({KRPyht},{x=1.5,y=1.5}); N\342\200\260ytt\342\200\260\342\200\260p\342\200\260 noita l\313\206ytyv\342\200\260n. display(implicitplot(g[1]=0,x=1.2..2,y=1.2..2),implicitplot(g[2]=0,x=1.2..2,y=1.2..2,color=blue)); implicitplot(g[2]=0,x=1.2..2,y=1.2..2,color=blue); Nyt on pakko ottaa kyn\342\200\260 ja paperi avuksi. K\342\200\260sin sievennys k\342\200\260y helposti ja johtaa: yhtsys:=x^3*y^2*cos(x^2*y^2)=1,x^2*y^3*cos(x^2*y^2)=1; Puolittain jakamalla: x=y,2*x^5*cos(x^4)=1; plot(2*x^5*cos(x^4)-1,x=0.9..2.1);plot(2*x^5*cos(x^4)-1,x=0.8..1.1); x1:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1);x2:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.4);x3:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.7);x4:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.8);x5:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.9); KRP:=[x1,x1],[x2,x2],[x3,x3],[x4,x4],[x5,x5]; 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 plot3d(f(x,y),x=0.5..1.5,y=0.5..1.5); H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y])); H1:=subs(x=x1,y=x1,H);H2:=subs(x=x2,y=x2,H);H3:=subs(x=x3,y=x3,H);H4:=subs(x=x4,y=x4,H);H5:=subs(x=x5,y=x5,H); det(H1),[det(H2),trace(H2)],[det(H3),trace(H3)],[det(H4),trace(H4)],det(H5); P1: satulapiste, P2: min, P3: satula, P4: min, P5: satula plot3d(f(x,y),x=1..2,y=1..2,axes=box); x0:=x1:H:=0.1:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H,style=patchcontour); LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic= [x1,x1],"on satula"; x0:=x2:H:=0.0005:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H,style=patchcontour,axes=box); LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYkLUkjbWlHRiQ2JVEiZkYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JKG1mZW5jZWRHRiQ2JC1GIzYlLUkjbW5HRiQ2JFEjMi5GJy9GM1Enbm9ybWFsRictSSNtb0dGJDYtUSIsRidGPi8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGMS8lKXN0cmV0Y2h5R0ZGLyUqc3ltbWV0cmljR0ZGLyUobGFyZ2VvcEdGRi8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkYvJSdhY2NlbnRHRkYvJSdsc3BhY2VHUSYwLjBlbUYnLyUncnNwYWNlR1EsMC4zMzMzMzMzZW1GJ0Y6Rj4= [x2,x2]," on minimi, vaikka kuvasta ei zoomaamallakaan aivan varmasti n\342\200\260e."; x0:=x3:H:=0.004:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x3,x3]," on satula, mutta loppuun saa zoomata, eik\342\200\260 aivan varmasti silti n\342\200\260e"; x0:=x4:H:=0.001:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x4,x4]," Hesse kertoo, ett\342\200\260 min, katsopa siit\342\200\260 nyt!"; x0:=x5:H:=0.001:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x4,x4]," Hesse kertoo, ett\342\200\260 satula."; f(x1,x1),f(x2,x2),f(x3,x3),f(x4,x4),f(x5,x5); plot([f(x,1),f(x,2),f(1,x),f(2,x)],x=1..2,color=[black,red,blue,green]); f(2,1.66);evalf(f(1,1)); Globaali johtop\342\200\260\342\200\260t\313\206s on siis: suurin [x1,x1],f(x1,x1); ja pienin KRP:ss\342\200\260 P4, arvo = 0.0980005359, joka on pienint\342\200\260 reuna-arvoa pienemnpi: 'f(2,1.66)'=f(2,1.66);'f(x4,x4)'=f(x4,x4); LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2JVEjeDRGJy8lJ2l0YWxpY0dRJXRydWVGJy8lLG1hdGh2YXJpYW50R1EnaXRhbGljRic= b)-kohta: Tarkoittaa minimi\342\200\260 1. koordinaattinelj\342\200\260nneksess\342\200\260. Korjattu versio: Osoita, ett\342\200\260 pienint\342\200\260 ei ole. T\342\200\260m\342\200\260 johtuu vaikkapa nyt siit\342\200\260, ett\342\200\260 suoralla y=x sini saa miten kaukana tahansa arvon -1 ja t\342\200\260t\342\200\260 suoraa pitkin funktion arvojen inf = -1, koska 1/x =1/y l\342\200\260henee 0:aa. Kuitenkaan arvoa -1 ei miss\342\200\260\342\200\260n saavuteta, koska siniin aina lis\342\200\260t\342\200\260\342\200\260n jotain positiivista (1/x+1/y). Aika ovela teht\342\200\260v\342\200\260, enp\342\200\260 ihmettele, vaikka Suvi ja Meri eiv\342\200\260t ihan joka yksityiskohtaa olisi jaksaneetkaan, vaan jaksoivat kaiken, mit\342\200\260 teht\342\200\260v\342\200\260ss\342\200\260 kysyttiin. (Nuo lokaalien luonteet olivat ylim\342\200\260\342\200\260r\342\200\260ist\342\200\260, mutta mielenkiintoista.) Itsell\342\200\260kin riitti riemua t\342\200\260st\342\200\260 ihan pitk\342\200\260\342\200\260n! Tuokin on tosi ovelaa, ett\342\200\260 funktiolla voi olla minimilaaksojen v\342\200\260liss\342\200\260 "harjanteita", jotka l\342\200\260helt\342\200\260 katsottaessa (laskettaessa) osoittautuvat "satulahuippuisiksi .

F:=1/x+1/y+x*y;plot3d(F,x=1/3..3,y=1/3..3/x,style=patchcontour); A:=Matrix([[17,6],[6,8]]); eigenvectors(A); display(plot(16/x^2,x=2..4),contourplot(x^2+y^2,x=0..4,y=0..16,contours=[6,7,8,9,10,11,12,13,15],color=blue),scaling=constrained);