\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
\textbf{DOKU}  mlLi004a.tex \\
%Matlab/Maple/Mathematica\\  
%H2T18/2012
Hilbertin matriisi koostuu alkioista $H(i,j)=\frac{1}{i+j-1}.$
Se esiintyy mm. PNS-sovitustehtävissä.
Luepa Matlabin luojan, \emph{Cleve Moler'n} hiljattain kirjoittama blogikirjoitus aiheesta:\\
\verb_http://blogs.mathworks.com/cleve/2013/02/02/hilbert-matrices/_

(Sivumennen sanoen ``shakkilaudan'' voi tehdä vähemmällä teorialla näinkin:)
\begin{verbatim}
for i=1:8 
   for j=1:8, A(i,j)=(-1)^(i+j);end
end; A
imagesc(A); axis image; axis off; colormap(copper)
\end{verbatim}
(Ethän voi olla kokeilematta !)

Muuttamalla vähän yhtälön dataa (oikeaa puolta ja/tai kerroinmatriisia), voidaan tutkia systeemin herkkyyttä pienille virheille (datassa ja pyöristyksessä).

Muodosta $3\times 3$- Hilbertin matriisi H. \\ 
Tarkastellaan systeemiä $H x = b$
kahdella b-vektorilla: 

$b_1= \left[0.95; 0.67; 0.52\right]$ ja $b_2$, missä $b_2(3)=b_1(3)+0.01$.


\begin{itemize}
\item[a)]
Ratkaise molemmat systeemit $A x = b_k, k=1,2$

\item[b)]
Laske b-vektorien ja x-ratkaisujen normien erotukset $||\Delta b||$ ja 
$||\Delta x||$ ja suhteelliset virheet jakamalla $||x||$:ll\"a ja vastaavasti 
$||b||$:ll\"a.


\item[c)]
Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan \emph{häiriöalttiudeksi}
(\emph{``ill-conditioned ``}). Laske kummankin matriisin häiriöalttius sek\"a 
m\"a\"aritelm\"an mukaan ett\"a \texttt{cond}-funktiolla.

Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

$$\frac{|| \Delta x||}{|| x ||} \leq \kappa \frac{|| \Delta b||}{|| b ||}$$

Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa $\kappa \times$ (datan suhteellinen 
virhe) ($\kappa = cond(A)$)

Vertaa ep\"ayht\"al\"on molempia puolia, onko suuruusluokka kohdallaan?

\item[d)]
Kerro muutamalla virkkeell\"a, mit\"a opit Molerin blogista ja komennoista 
\texttt{doc hilb, doc invhilb}.

%Ratkaisu-m-tiedosto on.

\end{itemize}

\begin{vihje}
\texttt{hilb, invhilb}
\end{vihje}
%\vskip 2mm
%\hrule
%\begin{ratk}
%\end{ratk}
%\hrule
%\textbf{Avainsanat:}

%\textbf{Luokittelu}: \\
%\texttt{mplteht/mplLinis/mplLixx.tex}, \texttt{matlabteht/mlLinis/mlLixx.tex}\\
%\textbf{Avainsanat:}\\ 
%Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius


\end{tehtava}
\end{Tehtava}