\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
\textbf{DOKU} mlT005.tex\\
%{\tiny HA}  
% [MatOhj2012, projekti]
%(Osa kaavoista ep\"aselvi\"a html:ss\"a, katso pdf-teht\"avi\"a!)\\
Monte Carlo-approksimaatio $\pi$:lle.

Piirr\"a yksikk\"oneli\"o ja sen sis\"a\"an reunoja sivuava ympyr\"a.
Neli\"on (yleens\"a monikulmion) piirtoa varten voit kirjoittaa nurkkapisteiden 
x-koordinaatit vektoriin x ja vastaavat y-koordinaatit vektoriin y. (Muista, ett\"a 
loppupisteeksi pit\"a\"a ottaa alkupiste uudestaan, jotta kuvion viimeinenkin s\"arm\"a piirtyy.)   

% Piirr\"a kuva
%\begin{verbatim}
% t=linspace(0,2*pi);
% x=cos(t);y=sin(t);
% plot(x,y,[1 1 -1 -1 1],[-1 1 1 -1 -1]);
% axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])
% axis square
%\end{verbatim}

Heitet\"a\"an tikkaa kuvan mukaiseen tauluun (tikat eiv\"at eksy taulua 
ymp\"ar\"oiv\"a\"an neli\"on ulkopuolelle, ehk\"a t\"ah\"an oikeasti tarvitaan "satunnaisrobotti"). 
Jos tikkojen osumatarkuus on
satunnaismuuttuja, joka on tasajakautunut neli\"oll\"a \\ 
$-1< x <, 1< y<1$, 
niin ympyr\"a\"an ja neli\"o\"on osuneiden
tikkojen lukum\"a\"ar\"an suhde l\"ahenee lukua $\pi/4$, kun satunnaisheittojen lukum\"a\"ar\"a kasvaa. Miksi? 

Generoi tasajakautuneita
pistepareja ja laske ko. osuus.

Piirr\"a tikkatauluun osuneet pisteet jollain v\"arill\"a ja ulkopuolelle j\"a\"aneet jollain 
toisella.

Tee ty\"ost\"a doku (tottakai), julkaise pdf-tiedostona.

%Alla on vihjett\"a pikku esityst\"a varten. Toisaalta teht\"av\"a ei kaipaa mit\"a\"an
%lis\"aopiskelua, tai vihjeit\"a. Kenties ehto \verb_X.^2+Y.^2 <= 1_ ja bittivektorin
%ykk\"osten lukum\"a\"ar\"an laskeminen v\"ahemm\"an Matlabia osaaville. (Vrt. edellinen kolmioteht\"av\"a mlT004.tex.)

\begin{vihje}
Avainidea: (Anteeksi, jos riistin keksimisen ilon!)
\verb_X.^2+Y.^2 <= 1_ ja bittivektorin
ykk\"osten lukum\"a\"ar\"an laskeminen


%Kirjassa C.vanL on hyv\"a tiivis selvitys aiheesta "Random processes" 1.3.2 ss. 
%34 - 37. 
%T\"ast\"a aiheesta voisi tehd\"a pienen harjoitusty\"on.

%Esiintyvi\"a Matlab-funktioita: 

%\texttt{
%http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/ref/hist.shtml\\
%http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/ref/rand.shtml\\
%http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/ref/randn.shtml.
%}

%Satunnaisprosesseihin ja t\"ah\"an teht\"av\"a\"an (Monte Carlo simulaatio $\pi$:n
%laskemiseksi) on CV-sivulla selke\"at skriptit:

%\verb_http://www.cs.cornell.edu/cv/Books/SCMV/Mfiles/chap1.htm#Dice_

%Dice ja Darts ala C. van Loan. 
%Opiskele, kokeile ja esittele.
\end{vihje}

\vskip 2mm

%\begin{ratk}
%\begin{verbatim}
%\end{verbatim}
%\end{ratk}

%\textbf{Avainsanat:} mlTodari, mlPerusteet, matlabperusteet, Monte Carlo, looginen ineksointi, satunnaisluvut

\end{tehtava}
\end{Tehtava}