\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mplP0001.tex \\
\subsubsection*{Maple-ohjeita} 

\textbf{Pintapiirroksia}

Usein pintapiirrosta voidaan t\"asment\"a\"a ja tarkentaa ja ymm\"art\"a\"a paremmin,
kun piirret\"a\"an sopivia avaruusk\"ayri\"a pinnalle {\tt spacecurve}:lla.

Alla on esimerkki, jossa
piirret\"a\"an napas\"adett\"a
pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkausk\"ayr\"a sek\"a k\"ayr\"an 
projektio
xy-tasossa. Varsin k\"aytt\"okelpoinen tapa monessa yhteydess\"a. T\"at\"a voi modifioida
tarpeen mukaan.


\begin{verbatim}
> with(plots):
> f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
> x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
> pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
> x:='x':y:='y':  # On hyv"a muistaa vapauttaa.
> pinta:=plot3d(...):   # Muista t"ass"a tavassa lopettaa kaksoispisteeseen.
> display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour); 
> display(pystyleikkaus);  # Katsotaan pelkk"a"a leikkausk"ayr"a"a. 
\end{verbatim}


{\bf Suunnattu derivaatta ja gradientti}

[LP] ss. 71 -- 73
\begin{itemize}
\item
Suunnattu derivaatta pistees\"a $p_0$ vektorin $\V{v}$ suunassa saadaan lasketuksi pisteess\"a $p_0$ lasketun gradientin ja 
suuntayksikk\"ovektorin sis\"atulona.
\item
Siisp\"a funktio kasvaa nopeimmin gradientin suuntaan ja sen kasvu on
$0$ gradienttia vastaan kohtisuoraan suuntaan.
\item
Suunta, johon funktion kasvu on $0$ on tasa-arvok\"ayr\"an (tai -pinnan)
tangentin (tangenttitason) suuntainen, joten gradientti on normaalin
suuntainen.

\end{itemize}

{\bf Pinnan normaali ja tangenttitaso}

Jos pinnan yht\"al\"o esitet\"a\"an muodossa $F(x,y,z)=0$, saadaan edellisen perusteella pinnan tangenttitason yht\"al\"o pisteess\"a $p_0$ n\"ain:

$\nabla F(p_0) \dot (p-p_0)=0$

Jos pinta on annettu muodossa $z=f(x,y)$, saadaan siten normaalin suunta funktion $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ gradienttina.

T\"ast\"a seuraa, ett\"a pisteeseen $p_0$ asetetun tangenttitason yht\"al\"o voidaan kirjoittaa muotoon

$$z-z_0 = f_1(p_0)(x-x_0) + f_2(p_0)(y-y_0) .$$

($f_1 $ja $f_2$ tarkoittavat osittaisderivaattoja.)

{\bf Kahden pinnan leikkausk\"ayr\"an tangentti}

Leikkausk\"ayr\"an tangentti on kohtisuorassa molempien pintojen normaalia vastaan (eik\"oy vain!). Siten leikkausk\"ayr\"an tangentin suuntainen vektori
saadaan pinnan normaalivektorien ristitulona 
$\V{t}= \V{n_1}\times \V{n_2}$.

\subsubsection*{Maple-ohjeita:gradientti(kentt\"a)}

\begin{verbatim}
with(linalg): with(plots):
fieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=a..b, y=c..d,arrows=slim,color=x); 
# a:lla, b:ll\"a jne. oltava tietysti numeeriset arvot.
\end{verbatim}



\end{tehtava}
\end{Tehtava}