\begin{Tehtava}
\begin{tehtava}
mplV000.tex \\
\subsection*{Ohjeita}

Ker\"at\"a\"an ohjeita n\"aiden teht\"avien aihepiiriin liittyen. ``Teht\"av\"a''-linkist\"a saat $\LaTeX$-koodin, josta sopivan osan voit haluamallasi tavalla muokaten liitt\"a\"a 
teht\"av\"apaperiisi.

%\subsubsection*{Taylorin polynomit}

%Kahden muuttujan Taylorin polynomi kehitettyn\"a pistees\"a $p$ voidaan kirjoittaa:

%$$P_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} (h_1 D_1 + h_2 D_2)^k f(p)$$

%T\"ast\"a on helppo arvata, miten useamman muuttujan polynomi rakentuu.

%Erityisesti 2. asteen Taylorin kaava voidaan kirjoittaa muotoon

%$$f(p+h)=f(p)+h^T \nabla f(p) + \frac{1}{2} h^T H_f(p)h + R_2(h),$$
%joka p\"atee n:n muuttujan funktiolle sellaisenaan.
%T\"ass\"a j\"a\"ann\"ostermi $R_2(h)=||h||^3 O(h)$ . (Eli riitt\"av\"an pieness\"a $p$:n yst\"oss\"a p\"atee: $R_2(h)\leq M ||h||^3 $ jollain vakiolla $M$.)

%\end{enumerate}

\subsubsection*{Neli\"omuotojen definiittisyys}

{\bf M\"a\"ar:} Neli\"omuoto $q(x)=x^T A x$ (A on symmetrinen matriisi)
on 
\begin{enumerate}
\item
positiivisesti definiitti, jos $q(x) > 0$ $\forall x\neq 0$,
\item
negatiivisesti definiitti, jos $q(x) < 0$ $\forall x\neq 0$,
\item
positiivisesti semidefiniitti, jos $q(x) \ge 0$ $\forall x\in \R^n$
ja $\exists y\ne 0$, jolla $q(y)=0$,
\item
negatiivisesti semidefiniitti, jos $q(x) \leq 0$ $\forall x\in \R^n$
ja $\exists y\ne 0$, jolla $q(y)=0$,
\item
indefiniitti, jos $\exists x, y$ siten, ett\"a $q(x) > 0$ ja $q(y) < 0 .$ 
\end{enumerate}

Samoja definiittisyysk\"asitteit\"a k\"aytet\"a\"an my\"os \emph{symmetrisest\"a matriisista $A$}.

{\bf Suunnattu derivaatta ja gradientti}

\begin{itemize}
\item
Suunnattu derivaatta pistees\"a $p_0$ vektorin $\V{v}$ suunassa saadaan lasketuksi pisteess\"a $p_0$ lasketun gradientin ja 
suuntayksikk\"ovektorin sis\"atulona.
\item
Siisp\"a funktio kasvaa nopeimmin gradientin suuntaan ja sen kasvu on
$0$ gradienttia vastaan kohtisuoraan suuntaan.
\item
Suunta, johon funktion kasvu on $0$ on tasa-arvok\"ayr\"an (tai -pinnan)
tangentin (tangenttitason) suuntainen, joten gradientti on normaalin
suuntainen.

\end{itemize}

{\bf Pinnan normaali ja tangenttitaso}

Jos pinnan yht\"al\"o esitet\"a\"an muodossa $F(x,y,z)=0$, saadaan edellisen perusteella pinnan tangenttitason yht\"al\"o pisteess\"a $p_0$ n\"ain:

$\nabla F(p_0) \dot (p-p_0)=0$

Jos pinta on annettu muodossa $z=f(x,y)$, saadaan siten normaalin suunta funktion $F(x,y,z)=f(x,y)-z$ gradienttina.

T\"ast\"a seuraa, ett\"a pisteeseen $p_0$ asetetun tangenttitason yht\"al\"o voidaan kirjoittaa muotoon

$$z-z_0 = f_1(p_0)(x-x_0) + f_2(p_0)(y-y_0) .$$

($f_1 $ja $f_2$ tarkoittavat osittaisderivaattoja.)

{\bf Kahden pinnan leikkausk\"ayr\"an tangentti}

Leikkausk\"ayr\"an tangentti on kohtisuorassa molempien pintojen normaalia vastaan (eik\"o vain!). Siten leikkausk\"ayr\"an tangentin suuntainen vektori
saadaan pinnan normaalivektorien ristitulona 
$\V{t}= \V{n_1}\times \V{n_2}$.



\subsubsection*{Kriittiset pisteet, \"a\"ariarvot}

Kriittinen piste (KRP) $p$: $\nabla f(p)=0$.\\
Kriittisen pisteen laatu selvi\"a\"a (jos selvi\"a\"a) Hessen matriisin $H_f(p)$ definiittisyydest\"a.\\
Symmetrisen matriisin definiittisyysk\"ayt\"os selvitet\"a\"an ominaisarvojen avulla. Jos matriisi on
$2\rtimes 2,$ voidaan k\"aytt\"a\"a determinanttia (kts. teht\"av\"a mplV006a). Isommillekin matriiseille on determinanttiehtoja, mutta ne on hankala muistaa ja k\"aytt\"a\"a, j\"a\"ak\"o\"ot muistoksi 
``determinanttien kulta-ajoilta''.

Hessen matriisi saadaan jälleen yksinkertaisimmin tähän tapaan:

\begin{verbatim}
 > with(linalg)
 > H:=Matrix(hessian(f,[x,y]));
 > H00:=subs(x=0,y=0,H)  % Arvo pisteessä (0,0)
\end{verbatim}
(Tietysti on helppo kirjoittaa ihan oma ``hessi''.)

%\subsection*{Maple-ohjeita}

\subsubsection*{Vektorikentt\"a ja gradientti}

\begin{verbatim}
with(linalg): with(plots): 
fieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=a..b, y=c..d,arrows=slim,color=x); 
# a:lla, b:lla jne. oltava tietysti numeeriset arvot.
\end{verbatim}
Uusissa Maplen versioissa on kirjastopakkaus \texttt{VectorCalculus} ja 
siellä funktio \texttt{Gradient} lukuisine valitsimineen. Kts. helppi.
Vanhan \texttt{linalg}-kirjaston kunnon \texttt{grad} on perustarpeisiin ehkä 
yksinkertaisin ja helppokäyttöisin.

\textbf{Oma pikku funktio} on usein selkein, se voidaan m\"a\"aritell\"a ongelmakohtaisesti
esim. toimimaan vain 2d-tilanteessa. T\"allainen gradienttifunktio voitaisin kaikessa
yksinkertaisuudessaan m\"a\"aritell\"a n\"ain:
\verb_ gradi2:=(f,x,y)->[diff(f,x),diff(f,y)]_ \\

\subsubsection*{Pintapiirroksen ``valaiseminen'' esim. avaruusk\"ayrill\"a}

Usein pintapiirrosta voidaan t\"asment\"a\"a ja tarkentaa ja ymm\"art\"a\"a paremmin,
kun piirret\"a\"an sopivia avaruusk\"ayri\"a pinnalle {\tt spacecurve}:lla.

Alla on esimerkki, jossa
piirret\"a\"an napas\"adett\"a
pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkausk\"ayr\"a sek\"a k\"ayr\"an 
projektio
xy-tasossa. Varsin k\"aytt\"okelpoinen tapa monessa yhteydess\"a. T\"at\"a voi modifioida
tarpeen mukaan.

\begin{verbatim}
> with(plots):
> f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
> x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
> pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
> x:='x':y:='y':  # On hyv\"a muistaa vapauttaa.
> pinta:=plot3d(...):   # Muista t\"ass\"a tavassa lopettaa kaksoispisteeseen.
> display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour); 
> display(pystyleikkaus);  # Katsotaan pelkk\"a\"a leikkausk\"ayr\"a\"a. 
\end{verbatim}

\end{tehtava}
%\begin{vihje}
%\end{vihje}
\end{Tehtava}