<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">Alustukset</Text-field>

<Text-field style="Heading 1" layout="Heading 1">Dokutehtava 13</Text-field>

QyYtSSV3aXRoRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiNiNJJ2xpbmFsZ0dGJSEiIi1GJDYjSSZwbG90c0dGJUYr

f:=(x,y)->1/x+1/y+sin(x^2*y^2);

QyctSSdwbG90M2RHNiI2Ji1JImZHRiU2JEkieEdGJUkieUdGJS9GKjsiIiIiIiMvRitGLS9JJWF4ZXNHRiVJJGJveEdGJUYuPkkmcGludGFHRiVJIiVHRiVGLi1JKGRpc3BsYXlHRiU2JEY1LUYkNic3JCRGLyEiIiRGLkY+RixGMC9JJnN0eWxlR0YlSSZQQVRDSEdGJS9JJWdyaWRHRiU3JCIiKEZG

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

contourplot(f(x, y), x = 1.6 .. 2, y = 1.6 .. 2, contours = [0.05,0.1,0.2], grid = [200, 200]);

JSFH

QyQtSSxjb250b3VycGxvdEc2IjYnLUkiZkdGJTYkSSJ4R0YlSSJ5R0YlL0YqOyQiIzkhIiIkIiM7RjAvRitGLS9JKWNvbnRvdXJzR0YlNyMtSSRzZXFHJSpwcm90ZWN0ZWRHNiQ7IiIhJCIiJ0YwJCIiIiEiIy9JJWdyaWRHRiU3JCIkKyJGRUZA

JSFH

QyQtSSdwbG90M2RHNiQlKnByb3RlY3RlZEdJKF9zeXNsaWJHNiI2JS1JImZHRig2JEkieEdGKEkieUdGKC9GLTskIiM5ISIiJCIjO0YzL0YuRjAiIiI=

JSFH

QyctSSdwbG90M2RHNiQlKnByb3RlY3RlZEdJKF9zeXNsaWJHNiI2Ji1JImZHRig2JEkieEdGKEkieUdGKC9GLTskIiM8ISIiJCIjPkYzL0YuRjAvSSVheGVzR0YoSSRib3hHRihGMz5JJnBpbnRhR0YoSSIlR0YoRjMtSShkaXNwbGF5R0YoNiRGOy1GJDYoNyYkIiIkRjMkIiIjRjMkIiIiRjMiIiFGL0Y2L0kmc3R5bGVHRihJJlBBVENIR0YlL0klZ3JpZEdGKDckIiIoRlAvSS10cmFuc3BhcmVuY3lHRigkIiImRjM=

NiI=

N\303\244ill\303\244 ev\303\244ill\303\244 p\303\244\303\244st\303\244\303\244n jo varmuuteen siit\303\244, ett\303\244 minimiarvo on l\303\244hell\303\244 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

Mutta miss\303\244 laakean laakson pisteess\303\244 se saavutetaan, ja mik\303\244 se tarkemmin on?

Otetaan diffis avuksi.

Yll\303\244 ladattiin linalg ja LinearAlgebra.

g:=Vector(grad(f(x,y),[x,y]));

H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y]));

Kriittiset pisteet, eli gradientin 0-kohdat:

KRPyht:=g[1]=0,g[2]=0;

Yht\303\244l\303\266t ovat mutkikkaat, mutta symmetrisen n\303\244k\303\266iset. Ei kannatta haaveillakaan, ett\303\244 solve p\303\244rj\303\244isi n\303\244ille. Ensimm\303\244inen "insight" voidaan saada piirt\303\244m\303\244ll\303\244 kummankin 0-korkeusk\303\244yr\303\244 ja etsim\303\244ll\303\244 niiden leikkauspisteit\303\244. (Toki meill\303\244 on "insighti\303\244" funktiopiirrostenkin perusteella, mutta aika laakealta aluelta.)

QyY+SSdnMWt1dmFHNiItSS1pbXBsaWNpdHBsb3RHRiU2Jy8mSSJnR0YlNiMiIiIiIiEvSSJ4R0YlOyQiIiYhIiIiIiMvSSJ5R0YlRjEvSSVncmlkR0YlNyQiJCsjRjsvSSZjb2xvckdGJUkkcmVkR0YlRi0+SSdnMmt1dmFHRiUtRic2Jy8mRis2I0Y1Ri5GL0Y2L0Y9SSVibHVlR0YlL0Y5NyQiI2dGSkYt

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

SSdnMWt1dmFHNiI=

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

SSdnMmt1dmFHNiI=

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

LUkoZGlzcGxheUc2IjYkSSdnMWt1dmFHRiRJJ2cya3V2YUdGJA==

PkkoZzFwaW50YUc2Ii1JJ3Bsb3QzZEc2JCUqcHJvdGVjdGVkR0koX3N5c2xpYkdGJDYnJkkiZ0dGJDYjIiIiL0kieEdGJDskIiImISIiIiIjL0kieUdGJEYxL0klZ3JpZEdGJDckIiQrI0Y7L0kmY29sb3JHRiRJJHJlZEdGJA==

PkkoZzJwaW50YUc2Ii1JJ3Bsb3QzZEc2JCUqcHJvdGVjdGVkR0koX3N5c2xpYkdGJDYnJkkiZ0dGJDYjIiIjL0kieEdGJDskIiImISIiRi4vSSJ5R0YkRjEvSSVncmlkR0YkNyQiJCsjRjovSSZjb2xvckdGJEklYmx1ZUdGJA==

SShnMXBpbnRhRzYi

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

SShnMnBpbnRhRzYi

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

LUkoZGlzcGxheUc2IjYlSShnMXBpbnRhR0YkSShnMnBpbnRhR0YkLUkncGxvdDNkRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliR0YkNigiIiEvSSJ4R0YkOyQiIiYhIiIiIiMvSSJ5R0YkRjEvSSZjb2xvckdGJEkneWVsbG93R0YkL0klZ3JpZEdGJDckRjNGMy9JJnN0eWxlR0YkSSZQQVRDSEdGKg==

Aika hyv\303\244! Mutta ep\303\244tietoisuus ei silti h\303\244lvene.

(Alla muutama lis\303\244kokeilu.)

NiI=

JSFH

No nyt asiaan, analyysi avuksi, muistetaan yht\303\244lt\303\266 :

Kokeillaan numeerista ratkaisijaa tuolla "laakeuksilla" olevilla arvoilla:

NiQvLCYqJEkieEc2IiEiIyEiIiooLUkkY29zRzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliR0YnNiMqJkYmIiIjSSJ5R0YnRjIiIiJGJkY0RjNGMkYyIiIhLywmKiRGM0YoRikqKEYrRjRGJkYyRjNGNEYyRjU=

KRPa:=fsolve({KRPyht},{x=1,y=1});

KRPb:=fsolve({KRPyht},{x=0.9,y=0.9});

KRPb:=fsolve({KRPyht},{x=1.5,y=1.5});

N\303\244ytt\303\244\303\244p\303\244 noita l\303\266ytyv\303\244n.

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYjLUkjbWlHRiQ2I1EhRic=

Nyt on parasta ottaa kyn\303\244 ja paperi avuksi.

K\303\244sin sievennys k\303\244y helposti ja johtaa:

yhtsys:=x^3*y^2*cos(x^2*y^2)=1,x^2*y^3*cos(x^2*y^2)=1;

Puolittain jakamalla:

x=y,2*x^5*cos(x^4)=1;

plot(2*x^5*cos(x^4)-1,x=0.9..2.1);plot(2*x^5*cos(x^4)-1,x=0.8..1.1);

x1:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1); x2:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.4); x3:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.7); x4:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.8);x5:=fsolve(2*x^5*cos(x^4)=1,x=1.9);

KRP:=[x1,x1],[x2,x2],[x3,x3],[x4,x4],[x5,x5];

Pieni niksi, jolla saadaan funktion f arvot lasketuksi yht\303\244aikaa kaikissa KR-pisteiss\303\244. f laskee f(x,y):n. Haluttais, ett\303\244

se laskisi f([x,y]):n. f:ll\303\244 olisi siis yksi argumentti, joka on lista. No op-muodostaa operandin, t\303\244ss\303\244 tapauksessa riisuu listasulut, joten n\303\244in:

PkkjZkxHNiJmKjYjSSJ4R0YkRiQ2JEkpb3BlcmF0b3JHRiRJJmFycm93R0YkRiQtSSJmR0YkNiMtSSNvcEclKnByb3RlY3RlZEc2IzkkRiRGJEYk

LUkjZkxHNiI2IzckSSJ4R0YkSSJ5R0Yk

T\303\244m\303\244 fL (f Lista) voitaisiin antaa argumentiksi map:lle, mutta pidet\303\244\303\244n se vain harjoitelmana ja k\303\244ytet\303\244\303\244n "anonyymia funktiota" suoraan kutsussa.

(aivan samoin kuin Matlab:ssa voidaan tehd\303\244 (@(x) lauseke(x))-tyylill\303\244.

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

Piste

JSFH[x4,y4], jossa arvo LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbW5HRiQ2JFEtMC4wOTgwMDA1MzU5RicvJSxtYXRodmFyaWFudEdRJ25vcm1hbEYnLUkjbW9HRiQ2LVEifkYnRi8vJSZmZW5jZUdRJmZhbHNlRicvJSpzZXBhcmF0b3JHRjgvJSlzdHJldGNoeUdGOC8lKnN5bW1ldHJpY0dGOC8lKGxhcmdlb3BHRjgvJS5tb3ZhYmxlbGltaXRzR0Y4LyUnYWNjZW50R0Y4LyUnbHNwYWNlR1EmMC4wZW1GJy8lJ3JzcGFjZUdGR0Yvon sis\303\244pistearvoista pienin.

Reunalla ehdokkaat pienimmiksi sijaitsevat x=2 ja y=2, reunoilla, symmetrisyyden nojalla riitt\303\244\303\244 tutkia toinen, olkoon y=2.

LUkiZkc2IjYkSSJ4R0YkIiIj

QyUtSSVwbG90RzYkJSpwcm90ZWN0ZWRHSShfc3lzbGliRzYiNiQtSSJmR0YoNiRJInhHRigiIiMvRi07IiIiRi5GMS1GJDYkRiovRi07JCIjOyEiIiQiIzxGOA==

PkkiZEc2Ii1JJWRpZmZHJSpwcm90ZWN0ZWRHNiQtSSJmR0YkNiRJInhHRiQiIiNGLA==

PkkjeHJHNiItSSdmc29sdmVHNiQlKnByb3RlY3RlZEdJKF9zeXNsaWJHRiQ2JC9JImRHRiQiIiEvSSJ4R0YkJCIkbCIhIiM=

LUkiZkc2IjYkSSN4ckdGJCIiIw==

L\303\244helle meni, mutta sis\303\244piste [x4,y4] kvalifioitui voittajaksi minimikisassa.

Vastaus 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

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">Miten p\303\244rj\303\244isi "pakettifunktio" Optimization-pakkauksesta?</Font></Text-field>

LUklbXJvd0c2Iy9JK21vZHVsZW5hbWVHNiJJLFR5cGVzZXR0aW5nR0koX3N5c2xpYkdGJzYlLUkjbWlHRiQ2JVEld2l0aEYnLyUnaXRhbGljR1EldHJ1ZUYnLyUsbWF0aHZhcmlhbnRHUSdpdGFsaWNGJy1JKG1mZW5jZWRHRiQ2JC1GIzYjLUYsNiVRLU9wdGltaXphdGlvbkYnRi9GMi9GM1Enbm9ybWFsRictSSNtb0dGJDYtUSI6RidGPS8lJmZlbmNlR1EmZmFsc2VGJy8lKnNlcGFyYXRvckdGRS8lKXN0cmV0Y2h5R0ZFLyUqc3ltbWV0cmljR0ZFLyUobGFyZ2VvcEdGRS8lLm1vdmFibGVsaW1pdHNHRkUvJSdhY2NlbnRHRkUvJSdsc3BhY2VHUSwwLjI3Nzc3NzhlbUYnLyUncnNwYWNlR0ZU

LUkpTkxQU29sdmVHNiI2Ji1JImZHRiQ2JEkieEdGJEkieUdGJC9GKTsiIiIiIiMvRipGLC9JLWluaXRpYWxwb2ludEdGJDckL0YpJCIjOiEiIi9GKkY0

LUkpTkxQU29sdmVHNiI2Ji1JImZHRiQ2JEkieEdGJEkieUdGJC9GKTskIiM7ISIiIiIjL0YqRiwvSS1pbml0aWFscG9pbnRHRiQ3JC9GKSQiIzxGLy9GKkY2

LUkpTkxQU29sdmVHNiI2Ji1JImZHRiQ2JEkieEdGJEkieUdGJC9GKTskIiM7ISIiIiIjL0YqRiwvSS1pbml0aWFscG9pbnRHRiQ3JC9GKSQiIzxGLy9GKiQiIz1GLw==

LUkpTkxQU29sdmVHNiI2Ji1JImZHRiQ2JEkieEdGJEkieUdGJC9GKTskIiM7ISIiIiIjL0YqRiwvSS1pbml0aWFscG9pbnRHRiQ3JC9GKSQiIz1GLy9GKkY2

Vasta, kun alkupiste annettiin 2:n numeron tarkkuudella oikein, "pakettirutiini" osui oikeaan!

<Text-field style="Heading 2" layout="Heading 2"><Font encoding="UTF-8">Paikallisten \303\244\303\244riarvojen luonne (teht\303\244v\303\244n jatkokysymyksen\303\244 (jota ei esitetty))</Font></Text-field>

Katsotaan nyt viel\303\244 kunkin KRP:n oikea luonne (vaikkei kysytty):

JSFH

#plot3d(f(x,y),x=0.5..1.5,y=0.5..1.5);

H:=Matrix(hessian(f(x,y),[x,y]));

H1:=subs(x=x1,y=x1,H);H2:=subs(x=x2,y=x2,H);H3:=subs(x=x3,y=x3,H);H4:=subs(x=x4,y=x4,H);H5:=subs(x=x5,y=x5,H);

det(H1),[det(H2),trace(H2)],[det(H3),trace(H3)],[det(H4),trace(H4)],det(H5);

P1: satulapiste, P2: min, P3: satula, P4: min, P5: satula

plot3d(f(x,y),x=1..2,y=1..2,axes=box);

x0:=x1:H:=0.1:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H,style=patchcontour);

JSFH

[x1,x1],"on satula";

x0:=x2:H:=0.0005:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H,style=patchcontour,axes=box);

LUkiZkc2IjYkJCIiIyIiIUYm

[x2,x2]," on minimi, vaikka kuvasta ei zoomaamallakaan aivan varmasti n\303\244e.";

x0:=x3:H:=0.004:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x3,x3]," on satula, mutta loppuun saa zoomata, eik\303\244 aivan varmasti silti n\303\244e";

x0:=x4:H:=0.001:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x4,x4]," Hesse kertoo, etta min, katsopa siita nyt!";

x0:=x5:H:=0.001:plot3d(f(x,y),x=x0-H..x0+H,y=x0-H..x0+H);[x4,x4]," Hesse kertoo, etta satula.";

Tuokin on tosi ovelaa, ett\303\244 funktiolla voi olla minimilaaksojen v\303\244iss\303\244 "harjanteita", jotka l\303\244helt\303\244 katsottaessa (laskettaessa) osoittautuvat "satulahuippuisiksi" .