mlBas013 \\
Kun \emph{Newtonin menetelmää}  sovelletaan yhtälöön $x^2-a=0$,
saadaan 
iteraatiojono
\[
x_0=a, x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_n+\frac{a}{x_n}),
\]
joka 
suppenee kohti lukua $\sqrt{a}$. Kirjoita MATLAB-skripti, jolla voit tarkastella tätä suppenemista, kun $a=5$.  Alkuarvona voit tässä tapauksessa käyttää vaikka lukua $a$. \\
Anna tuloksena taulukko T, jossa on sarakkeet (vain numeeriset, ei otsikoita):
%\begin{verbatim}
%         0  1  virhe(
%\end{verbatim}
\[
\begin{array}{ccc} 
n  & x(n) &  \text{virhe} \\
0 & a & \sqrt{a}-1\\
1  & x(1) & \sqrt{a}-x(1)\\
\vdots & \vdots & \vdots \\
N  & x(N) & \sqrt{a}-x(N)
\end{array}
\]

\textbf{Vihje}\\
Suppenemisen tutkimisessa kannattaa käyttää \texttt{for} -luuppia. Se toimii syntaksilla 
\begin{verbatim}
for k = 1:N-1
    x(k+1)=...
    virhe(k+1)=...
end
\end{verbatim}
Oikean lopetusehdon muodostamiseen \texttt{while}-rakenne on parempi, mutta t\"am\"a nyt ensi harjoitteluun etenkin, kun suppeneminen on hyvin nopeaa. \\

Vrt. teht. \textbf{mlBas013a}, jossa pyydetään \texttt{while}-ratkaisua.


\begin{enumerate}[(a)]
\item
Laske vain \emph{x}-vektori for-luupissa ja muodosta taulukko T liittämällä
3 saraketta vierekkäin. (Yksinkertaisempi ja ``Matlabmaisempi'' tapa)
\item
Rakenna taulukko T rivi riviltä suoraan \texttt{for}-silmukassa.
(Tämäkin on opettavaista, hiukan joudut ``indeksishiftaukseen'' erityisesti, 
koska 0 on kielletty indeksi matriiseissa.) 
\end{enumerate}

\textbf{Jatkovihje}\\

(a)-tapauksessa kannattaa alustaa
(pysty)vektori: \\
\qquad \texttt{x=zeros(N+1,1)}\\

(b)-tapauksessa kannattaa alustaa matriisi:\texttt{T=zeros(N+1,3)};

Matlab ei alustusta vaadi, mutta isoilla datoilla alustaminen tehostaa
huomattavasti, koska muuten tulkki joutuisi allokoimaan uutta muistitilaa joka
kierroksella.

Tulostustarkkuuden säätö: \texttt{format long} (ei vaikuta laskentatarkkuuteen).

\textbf{Huom: Indeksointi alkaa 1:stä}

\textbf{Vaativuus} 1+ \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlBasic/mlBas013.tex}{../mlteht/mlBasic/mlBas013.tex}

\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlBasic/ratkaisut/mlBas013R.pdf}{../mlteht/mlBasic/ratkaisut/mlBas013R.pdf} pdf-muodossa}\\
\href{../mlteht/mlBasic/ratkaisut/mlBas013R.m} {../mlteht/mlBasic/ratkaisut/mlBas013R.m} (m-tiedosto)\\
\href{../mlteht/mlBasic/ratkaisut/mlBas013R.txt} {../mlteht/mlBasic/ratkaisut/mlBas013R.txt} (m-tiedoston kopio .txt-tyyppisenä)\\
     
   
\textbf{Avainsanat:}Matlabperusteet,mlBasic,iteraatio, iteration, for-loop, Newtonin menetelma neliojuuren laskentaan \\
\textbf{Matlabfunktioita:} for, ones, sqrt \\\\


\hrule