%H2T7.tex, mplCF03.tex, mlCF15.tex
mlCF15.tex [Maple: ../../mplteht/mplCurveFit/mplCF03.tex] \\
%({\tiny H2T7.tex})

\textbf{Opettajalle}:\\ 
{\it (a)-kohta sopii ensitutustumiseen. \\
(b)-kohta on sikäli huono,
että virhetermin suuruusluokka on toisesta maailmasta (opettavaista kylläkin, mutta alkajaisiksi vaatii ainakin varoituksen).\\
Lisää tehtävän opetuksia ratkaisutiedostoissa.}



(a) 
Muodosta interpolaatiopolynomi pisteist\"olle, joka saadaan laskemalla
funktion $\cos (1+x^2)$ arvot tasav\"alisess\"a x-pisteist\"oss\"a, jossa
on 7 pistett\"a v\"alill\"a $[0,3]$.% ({\tt xdata=linspace(0,3,7)})
Piirr\"a samaan kuvaan funktio, datapisteet ja interpolaatiopolynomi.

(b)
Arvioi (Lagrangen) interpolaatiokaavan virhetermin avulla interpolaatiovirheen
yl\"araja yo. v\"alill\"a ja vertaa todelliseen.

\textbf{Lause} Olkoot $x_0,x_1,\ldots,x_n$ erilliset pisteet ja $f$ $(n+1)$ 
kertaa jatkuvasti derivoituva funktio $x_k-$pisteet sis\"alt\"av\"all\"a v\"alill\"a.
Jos $p_n$ on (1-k\"as) dataan $(x_k,f(x_k))$ liittyv\"a interpolaatiopolynomi,
niin 
$$f(x)-p_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1) \cdots
(x-x_n).$$


\textbf{Vihje:}\\
T\"ass\"a on mahdollista harrastaa Maplen ja Matlabin yhteisty\"ot\"a. Virhekaavan derivaatta muodostetaan tietysti Maplella ja lauseke sievennet\"a\"an. Itse asiassa piirt\"am\"all\"a ja poimimalla kuvasta maksimipisteen koordinaatit, saadaan riitt\"av\"an hyv\"a arvio. \\
Toinen mahdollisuus on käyttää Matlabin symbolic toolboxia. 

Tulotermin voisi hoitaa tehokkaimmin Matlabissa ottamalla tihe\"an diskretoinnin ja k\"aytt\"am\"all\"a max-funktiota. Maplessakin on max-funktio, lakenta on Matlabissa tehokkaampaa.\\
Miten tulotermi lasketaan Matlabissa? Vaikka t\"ah\"an tapaan:\\
 1. \verb_ x=linspace(....,N)_ \\
 2. Ted\"a\"an matriisi X, jossa x-vektoreita allekkain n+1 kpl. \\
 3. Tehd\"a\"an matriisi X0, jossa rivit
        \begin{verbatim}
           x0 x0 ... x0   N kpl.
           x1 x1 ... x1   N kpl.
            ...
           xn xn ... xn   N kpl.
        \end{verbatim}
  N\"am\"a syntyv\"at vaikka \texttt{meshgrid}-komennolla tai ulkotuloilemalla
  ykk\"ospystyvektorilla.\\
 4. V\"ahennet\"a\"an matriisit ja \texttt{prod())}. Sitten vain \texttt{abs} ja 
\texttt{max} kehiin.

Tosi Matlabmaista!  (Ei moitita, vaikka tekisit for-loopin, vain 8 kertaa käydään, mutta
hyvä ymmärtää Matlabin hienoa matriisiajattelua, muistiahan ei nykyisin tarvitse säästellä.)



\textbf{Vaativuus:} 2+ \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlCurveFit/mlCF15.tex}{../mlteht/mlCurveFit/mlCF15.tex}

\textbf{Ratkaisu:}  \\
\href{../mlteht/mlCurveFit/ratkaisut/html/mlCF15R.html}{../mlteht/mlCurveFit/ratkaisut/html/mlCF15R.html} (Publish: m-tied.-> html) \\
\href{../mlteht/mlCurveFit/ratkaisut/mlCF15R.m} {../mlteht/mlCurveFit/ratkaisut/mlCF15R.m} (Matlab:n m-tiedosto)\\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlCurveFit/apusrc/mlCF15A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlCF000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlCurveFit/apusrc/mlCF15Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} Käyrän sovitusta/interpolaatiota Matlab:lla ,mlCurveFit,mlCF, interpolaatiovirhe, Lagrange \\

\textbf{Matlabfunktioita:} polyfit, polyval \\

\hrule