mlLA0002.tex \\

%%%%%%%%%%%%%%% Begin your Latex code %%%%%%%%%%%%%%%%%
% Just plain Latex code without pramble, macros etc.
% Example:
%Let 
%\[
%\mathbf{A} = 
%\begin{bmatrix}
%1&2&3\\ 4 &5&6\\ 7&8&9
%\end{bmatrix}.
%\]
%What can you say ...
%$\R^2$
%$\mathbb{R}^2$
Olkoon $F$ lineaarikuvaus, jonka geometrinen kuvailu on annettu seuraavissa
eri kohdissa.

(a) Peilaus x-akselin suhteen tasossa $\mathbb{R}^2$ , \\
(b) Kohtisuora projektio y-akselille $\mathbb{R}^2$:ssa, \\ 
(c) Venytys/kutistus kertoimilla $0.5,1.5,3$ kussakin koordinaattisuunnassa 
$\mathbb{R}^3$:ssa, \\
(d) Peilaus xy-taon suhteen $\mathbb{R}^3$:ssa, \\

{\bf Kynä-paperiosuus:}

\begin{itemize}
\item
Selvitä ensin pelkän kuvailun perusteella, mitkä kuvauksista ovat kääntyviä
ja mitkä eivät.
\item
Muodosta kunkin kuvauksen matriisiesitys.
\end{itemize}

{\bf Matlab-osuus:}

Sijoita ``talomatriisi'' muuttujaan $T$ ja piirrä. Kyseessä on kaksirivinen
matriisi, jonka 1. rivi edustaa nurkkapisteiden x-koordinaatteja ja
toinen vastaavia y-koordinaatteja.
\begin{verbatim}
T=[0 0 -1 6 13 12 12 3 3 6 6 0;
   0 9 8 15 8 9 0 0 5 5 0 0]
plot(T(1,:),T(2,:)
\end{verbatim}
Kyseessä on MIT:n matematiikan professorin {\em Gilbert Strang'n} 
mieliesimerkki, joka esiintyy myös kirjan \emph{Strang: Linear Algebra} kansikuvassa.

Olkoon $A$ $2\times 2$-matriisi ja $F_A$ sen  m\"a\"ar\"a\"amä 
lineaarikuvaus (jota useimmiten merkitään samalla A-kirjaimella).
Siten (pysty)vektorin $x$ kuva $y$ saadaan kertolaskulla
$y=Ax$. 
Piste{\bf joukko} voidaan kuvata kokoamalla $\mathbb{R}^2$:n 
pisteet sarakkeiksi
matriisiin (kuten {\tt T} yllä) ja kertomalla se kuvausmatriisilla $A$. 
Niinp\"a  talon
nurkkapisteiden kuvat saadaan suoraan kertomalla "talomatriisi" $T$ kuvausmatriisilla $A$, 
ts. $S=A T$. Lineaarisuuden perusteella lähtöpisteiden yhdistysjanat kuvautuvat 
kuvapisteiden yhdistysjanoille.

Olkoon $A$ kiertomatriisi 
$A= \left [\begin {array}{cc} \cos \theta &-\sin \theta \\
            \sin \theta &\cos \theta \\   \end {array}\right ]$

Suorita 
\begin{verbatim}
>> theta=pi/4   % voit muutella.
>> A=[cos(theta) -sin(theta);sin(theta) cos(theta)]
\end{verbatim} 
Suorita
{\tt S=T;} ja 
iteroi (nuolinäppäimellä) sitten riviä:
\begin{verbatim}
>> S=A*S;plot(S(1,:),S(2,:))
\end{verbatim}
Kuva käyttäytynee odotuksiesi mukaisesti.

Piirrä ``Strangin talon'' T kuva yllä olevissa kuvauksissa (a) ja (b)
sekä kuvauksessa, joka kertoo x-koordinaatit luvulla $0.75$ ja jättää
y-koordinaatit ennalleen.


%%%%%%%%%%%%%% End of your Latex code %%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\textbf{Vaativuus:} 2- \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlLinalg/mlLA0002.tex}{../mlteht/mlLinalg/mlLA0002.tex}\\

%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0002R.html}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0002R.html} \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0002R.pdf}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0002R.pdf} \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA0002R.m} {../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA0002R.m} \\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA0002A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlLA000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA0002Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat, keywords:} Lineaarialgebraa Matlabilla, matriisilaskentaa,mlLinalg,
mlLA, \#lineaarikuvaukset, \#lineaarikuvaus, \#Strangin talo, peilaus, projektio, kierto,
\#linearmappings
% Numeerista matriisilaskentaa, PNS/LSQ, curve fitting, interpolation, interpolaatio
% matriisihajotelmat, svd, LU, QR
% ortogonaalisuus, Markovin prosessit
 %Ominaisarvot, ominaisvektorit, ominaisarvojen graafinen havainnollistaminen, ominaisvektorien graafinen havainnollistaminen, Matlab: eigshow, eig,
% diagonalisointi\\


\hrule