mlLA004.tex
Matlab/Maple/Mathematica\\  
%H2T18/mlLi100/mplLi100/mmaLi100

Tarkastellaan yhtälösysteemejä:
$$
\begin{cases}
10 x_1 + 7 x_2 + 8 x_3 + 7 x_4 = 32 \\
7 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 + 5 x_4 = 23 \\
7x_1 + 6x_2 + 10 x_3 + 9 x_4 = 33\\
7 x_1 + 5 x_2 + 9 x_3 + 10 x_4 = 31 
\end{cases}
$$
ja
$$
\begin{cases}
2x_1+x_2+5x_3+x_4=9\\
x_1+x_2-3x_3 -x_4 = -5\\
3x_1 + 6x_2-2x_3+x_4 = 8\\
2 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 -3 x_4 = 3
\end{cases}
$$

\begin{enumerate}[(a)]
\item
Ratkaise molemmat systeemit.

\item
Muuttamalla vähän yhtälön dataa (oikeaa puolta ja/tai kerroinmatriisia), voidaan tutkia systeemin herkkyyttä pienille virheille (datassa ja pyöristyksessä).

Ratkaise 1. systeemi oikean puolen vektoreilla \\ 
\verb_ [32.1, 22.9, 32.9,31.1]'_ ja \verb_[32.01, 22.99,32.99,31.01]'_ \\
 ja 2. systeemi vektoreilla\\
\verb_[9.1 -5.1, 7.9, 3.1]' _ ja \verb_[9.01, -5.01, 7.99, 3.01]' _ .

Mitä nämä pienet häiriöt vaikuttavat ratkaisuihin?

\item
Muuta kerroinmatriiseja lisäämällä matriisien kuhunkin alkioon pieni satunnaisluku \\
\verb_0.1*rand_ .
Ratkaise systeemit alkuperäisillä oikeilla puolilla.
Mitä nämä muutokset vaikuttavat ratkaisuihin.

\item
Lineaarisen yhtälösysteemin herkkyyttä pienille virheille sanotaan \emph{häiriöalttiudeksi}
(\emph{``ill-conditioned ``}). Laske kummankin matriirin häiriöalttius.

Suhteellisen virheen suurtenemisypäyhtälö:

$$\frac{|| \Delta x||}{|| x ||} \leq \kappa \frac{|| \Delta b||}{|| b ||}$$

Pahimmillaan ratkaisun suhteellinen virhe voi olla luokkaa $\kappa \times$ (datan suhteellinen 
virhe) ($\kappa = cond(A)$)

\end{enumerate}


\textbf{Vaativuus:} 2+ \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlLinalg/mlLA004.tex}{../mlteht/mlLinalg/mlLA004.tex}\\

\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA004R.html}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA004R.html} \\
\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA004R.pdf}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA004R.pdf} \\
\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA004R.m} {../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA004R.m} \\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA004A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlLA000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA004Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} Lineaarialgebraa Matlabilla, matriisilaskentaa,mlLinalg,mlLA,Numeerinen lineaarialgebra, matriisit, lineaariset yhtälöryhmät, häiriöalttius \\

%\textbf{Matlabfunktioita:} 

\hrule