mlLA0061.tex = mlPDE0011.tex (tee pelkkä linkki) \\

Vrt. mlLA006.\\
\textbf{Opettajalle:} Tehtävä on hiukan työläs, mutta toisaalta tulos on ``palkitsevampi''
kuin tuossa minimikokoisessa tehtävässä mlLA006. 

Tässä tehtävässä tarvitsee vain muodostaa ja ratkaista lineaarinen yhtälöryhmä
annettujen ohjeiden mukaan. Toisaalta johdattelee PDE-numeriikkaan.

%\includegraphics[height=3.6cm, width=3.6cm]{img/harj1.eps}
%\vfill\eject
\emph{Tasapainolämpötilajakauma metallilevyssä.}\\

\begin{verbatim}
          50   20   10   0
     |----|----|----|----|----|
     |                        |
  80 |   T1   T2   T3   T4    | 80
     |                        |
  60 |   T5   T6   T7   T8    | 60
     |                        |
  40 |   T9   T10  T11  T12   | 40
     |                        |
  20 |   T13  T14  T15  T16   | 20
     |                        |
     |----|----|----|----|----|
          0    0    0    0
\end{verbatim}

 Kuva esittää metallilevyä,
joka on ylä- ja alapinnoiltaan lämpöeristetty ja jonka reunojen lämpötilat
on kiinnitetty. (Lämpöä virtaa vain reunojen kautta.) Tasapainolämpötilajakauma
saadaan \emph{Laplacen yhtälön $\Delta u=0$} ratkaisuna. Numeerinen approksimaatio voidaan laskea ns. differenssimenetelmällä: Jaetaan levy sopivilla hilaviivoilla osiin ja numeroidaan näin muodostuvat solmupisteet. Menetelmä: Kunkin 
hilasolmun lämpötila on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo. 

Sisäpisteiden lämpötilat $T_1,...,T_{16}$ saadaan siis
naapuripisteiden lämpötilojen keskiarvona. (Kullakin sisäpisteellä
on 4 naapuria, pohjois-, etelä-, itä-, länsi.)

Muodosta lineaarinen yhtälösysteemi lämpötilojen $T_1,...,T_{16}$ 
ratkaisemiseksi. Rakenna yhtälösysteemi itsellesi ensin kynää ja
paperia käyttäen (kotona!) ja syötä sitten ao. matriisi ja vektori 
Matlabiin, tietysti \textbf{editorin} kautta. 

Käytä ratkaisuun
Matlabin valmista ratkaisijaa \verb_ T=A\b _. Piirrä lämpötilafunktion
kuvaaja. Tämä käy muotoilemalla ratkaisuvektori {\tt T} $4\times4$- 
matriisiksi
{\tt TMAT }, jonka saat kätevästi komennon {\tt reshape} avulla.
Sovella tähän {\tt mesh}- tai {\tt surf}-tyyppistä funktiota.
Voit kokeilla kuvan pyörittämistä ja komennon {\tt colorbar} antamista
ym. \\



{\bf Huom!} Tässä on kyse ihan oikeasta numeerisesta menetelmästä
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön} ratkaisemiksi, ns.
differenssimenetelmästä, jossa osittaisderivaatat korvataan 
differensseillä (periaatteessa erotusosamäärillä).

\textbf{Ohjeita:} Katso lisää tehtävän mlLA006 ohjeista.



\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlLinalg/mlLA0061.tex}{../mlteht/mlLinalg/mlLA0061.tex}\\

%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0061R.html}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0061R.html} \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0061R.pdf}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0061R.pdf} \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA0061R.m} {../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA0061R.m} \\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA0061A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlLA000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA0061Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\textbf{Avainsanat:} Lämpötilamatriisi, Laplacen yhtälön diskretointi, differenssimenetelmän perustehtävä, lineaarinen yhtälöryhmä, Discretizaton of Laplace PDE, Linear system of equations
   

\hrule