mlLA0197.tex \\
%%%%%%%%%%%%%%% Begin your Latex code %%%%%%%%%%%%%%%%%
% Just plain Latex code without pramble, macros etc.

\textbf{Päättelytehtävä} (``osoita, että ...'') \\ 

(a) Osoita,
ett\"a  jos $\lambda$ on $A$:n ominaisarvo ja $\mathbf{x}$ vastaava ominaisvektori, niin $\lambda^k$ on $A^k$:n ominaisarvo,
ja samainen $\mathbf{x}$ on vastaava ominaisvektori.

(b) Oletetaan, ett\"a $A$ on k\"a\"antyv\"a. 
Osoita, ett\"a $\lambda^{-1}$ on $A^{-1}$:n
ominaisarvo ja $\mathbf{x}$ siihen liittyv\"a ominaisvektori (yhtä hyvin $A x$).
Mist\"a tied\"at, ett\"a $\lambda \ne 0$?

(c) Osoita, että $A$:lla ja $A^T$:lla on samat ominaisarvot. (Tiedoksi: ominaisvektorit eivät välttämättä ole samat.)

(d) Osoita, että reaalisen matriisin kompleksiset ominaisarvot ovat pareittain toistensa liittolukuja.

Vihje: (a): Tarvitset vain määritelmää. \\
Mieti (b)-kohdan loppykysymyksessä, mitä merkitsee kääntyvyyteen nähden, jos ominaisarvo on $0$, ajattele vaikkapa 
homogeeniyhtälön ratkaisuja tms.  \\
(c): Muista, että $(A+B)^T = A^T + B^T$ ja että matriisilla ja sen transposilla on sama determinantti.
Sitten vain kirjoitat $A^T$:n karakteristisen polynomin $A$:n karakteristisen polynomin avulla.

%%%%%%%%%%%%%% End of your Latex code %%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\textbf{Vaativuus:} 2- \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlLinalg/mlLA0197.tex}{../mlteht/mlLinalg/mlLA0197.tex}\\

%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0197R.html}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0197R.html} \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0197R.pdf}{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/html/mlLA0197R.pdf} \\
%\href{../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA0197R.m} {../mlteht/mlLinalg/ratkaisut/mlLA0197R.m} \\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA0197A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlLA000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlLinalg/apusrc/mlLA0197Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} 
 \#ominaisarvot, \#ominaisvektorit, \#eigenvalues, \#eigenvectors, \#theory


\hrule