mlNl11.tex

Newtonin menetelmä lienee kaikista funktion nollakohdan etsimiseen käytetyistä 
menetelmistä kuuluisin. 
Silloin, kun menetelmä toimii, se on todella tehokas, suppenee kvadrattisesti,
ts. oikeiden numeroiden lukumäärä likipitäen kaksinkertaistuu joka 
iteraatiokierroksella. Toisaalta menetelmä vaatii usein varsin hyvän alkuarvauksen, ja joissakin tilanteissa ei suppene hyvälläkään alkuarvolla.

Newtonin iteraatioilla tarkasteltavilta funktioilta odotetaan jatkuvuutta ja derivoituvuutta. Newtonin iteraatiokaava on 
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
\]

Kirjoita approksimatiivinen Newtonin meentelmä korvaamalla derivaatta differenssiapproksimaatiolla.
Etsi funktion
$f(x) = e^{\sin(x^2)}e^{-x^2}\sin(x^2)-\frac{1}{2}$ nollakohtia käyttäen Newtonin menetelmää. Käytä alkuarvoina ainakin arvoja $0.5, 12.2 $ ja $2.2$. Kuten huomataan, alkuarvoilla on todella dramaattinen vaikutus siihen, kuinka ja minne menetelmä suppenee. 

HUOM! Otetaan tehtävään myös symbolinen derivaatta. Hyvä NUMSYM-tehtävä.



Kokeile sitten ratkaista funktion $g(x) = x^3-2x+2$ nollakohta Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvauksena $x_0= 1$. Mitä tapahtuu? (vinkki: \texttt{Ctrl + C } lopettaa ikuisen luupin.)

Viimeisenä kokeile ratkaista funktion $h(x) = 1-x^2$ nollakohta Newtonin menetelmällä käyttäen alkuarvauksena $x_0= 0$. Mitä tapahtuu?

\textbf{Vihje:}\\
Numeerisissa tapauksissa etsitään nollakohtaa jollain sopivalla toleranssilla. Derivaattana kannattaa 
käyttää määritelmän sijasta 3-pisteen sääntöä:
\[
f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h},
\]
kun $h$ on pieni. 


\textbf{Vaativuus:} 1+ \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlNonlinEqu/mlNl11.tex}{../mlteht/mlNonlinEqu/mlNl11.tex}

%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlNonlinEqu/ratkaisut/html/mlNl11R.html}{../mlteht/mlNonlinEqu/ratkaisut/html/mlNl11R.html} (Publish: m-tied.-> html) \\
%\href{../mlteht/mlNonlinEqu/ratkaisut/mlNl11R.m} {../mlteht/mlNonlinEqu/ratkaisut/mlNl11R.m} (Matlab:n m-tiedosto)\\
     

%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlNonlinEqu/apusrc/mlNl11A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlNonlinEqu000.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlNl/apusrc/mlNonlinEqu11Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} Epälineeriset yhtälöt, Nonlinear equations, Matlab ,mlNonlinEqu,mlNl, Newtonin menetelmä nollakohdalle \\

\textbf{Matlabfunktioita:}  fzero \\

\hrule