mlD001.tex (iv3 harj.1 av 2001) \\
Tätä tehtävää harjoitellaan Matlab-teknisesti loppuviikon harjoituksissa.
Osattava
esittää (ke 19.9.) liitutaululla käsin piirtäen periaatteessa.

Tarkastellaan diffyhtälöä  $y'=y-x$ alueessa $-1 \leq x,y \leq 1$,

Piirrä $xy$-koordinaatistoon suuntakenttä
ja isokliinejä käsin ja kokeile myös Matlabia laskimen roolissa.
Ota hilaväliksi aluksi vaikka $h=0.5$.

Matlab-laskussa kannattaa muodostaa matriisi, sanokaamme K, jonka alkioina
ovat arvot $y_i - x_j$, $i=1\ldots 5, j=1\ldots 5$ tähän tapaan:
\begin{verbatim}                                                                                           
  h=0.5; t=-1:h:1;x=0:h:2                                                                                  
  for i=1:5                                                                                                
    for j=1:5                                                                                              
      K(i,j)=y(i)-x(j)                                                                                     
    end                                                                                                    
  end                                                                                                      
\end{verbatim}
Koska matriisissa rivi-indeksi i juoksee alaspäin, on helpompaa sijoittaa
arvot koordinaatistoon kääntämällä matriisin sarakkeet ylösalaisin; tämä
tapahtuu komennolla {\tt flipud}.
Katso siis matriisista {\tt flipud(K)} arvot ja merkitse ne kynällä piirrokseen.
Tarkista käsin (tai ``skalaarilaskimella'' (Matlabkin käy)) muutama alkio
ainakin. %Mitkä matriisin K alkiot kuuluvat keskenään samaan isokliiniin? 
(Hilan tihentäminen käy nyt helposti muuttamalla vain yllä $h$:ta.)\\
Myöhemmin opimme, että K-matriisin muodostaminen käy kätevämmin,
tehokkaammin ja rutiininomaisemmin näin:
\begin{verbatim}                                                                                           
x=...;y=...  % Kuten edellä                                                                                
[X,Y]=meshgrid(x,y);                                                                                       
K=Y-X;    % Jos esiintyy kertolaskua, potenssia ym.,                                                       
          % on varustettava pisteellä, siis                                                                
          %     .*, .^  ./  (taulukko-operaatiot)                                                          
\end{verbatim}
Nyt meillä on kaikki
data kerättynä suuntakentän piirtämistä varten.
Voit katsoa skriptiä suuntak1.m alla aputiedostossa ja miettiä, mitä siinä tapahtuu. 
(myös:
\href{http://www.math.hut.fi/teaching/v/matlab/suuntak1.m}{http://www.math.hut.fi/teaching/v/matlab/suuntak1.m})

Lopuksi voit kokeilla LAODE-funktiota {\tt dfield8} (versio v. 2012) , jonka käyttö ei
vaadi Matlabin tuntemista lainkaan. \href{http://math.rice.edu/~dfield/}{http://math.rice.edu/\textasciitilde dfield/}

\textbf{Vaativuus} 2.

\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlODE/mlODE001.tex}{../matlabteht/mlODE/mlODE001.tex} \\\\
%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../matlabteht/mlODE/ratkaisut/mlODE001R.pdf}{../matlabteht/mlODE/ratkaisut/mlODE001R.pdf}\\
%\href{../matlabteht/mlODE/ratkaisut/mlODE001R.m} {../matlabteht/mlODE/ratkaisut/mlODE001R.m}\\
     
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../matlabteht/mlODE/apusrc/mlODE001A.m}{(Ei ole) Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (m)} (Linkki mukaan mplD000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../matlabteht/mlODE/apusrc/mlODE001Aope.tex}{(Ei ole) Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\
   
\textbf{Avainsanat:}MatlabODE, diffyhtalot, mlDifferentiaaliyhtälöt,suuntakenttä\\

\textbf{Viitteet:} 
\texttt{[LAODE]} Golubitzky-Dellnitz: 
Linear Algebra and Differential Equations using Matlab, Brooks/Cole 1999.



\hrule