mlODE100.tex\\
Mallinnetaan heiluria kolmessa ulottuvuudessa. Pisteen $\mathbf{x}(t) = [x_1(t),x_2(t),x_3(t)]^T$,  massa on $m$, ja siihen kohdistuu voima $\mathbf{F} = [0,0,-gm]^T$ ($g = 9.81m/s^2$). Pistettä  rajoittaa pallon pinnan yhtälö $\Phi(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2-1=0$. Pisteen liikettä mallintaa seuraava differentiaaliyhtälö:
\[
\mathbf{x}''(t) = \frac{1}{m}\bigg( \mathbf{F}- \frac{m\mathbf{x}'(t)^T\mathbf{H}\mathbf{x}'(t)+ \nabla \Phi\mathbf{F}  }{|\nabla \Phi|^2} \nabla \Phi \bigg)
\]

Yhtälössä $\nabla \Phi$ on funktion $\Phi$ tilagradientti ($x_i$ komponenttien suhteen) ja  $\mathbf{H}$ on Hessin matriisi funktiolle $\Phi$ -- tässä tapauksessa diagonaalimatriisi, jonka alkiot ovat kaikki $2$.

Lisäksi yhtälö tarvitsee alkuarvot $\mathbf{x}(0)= \mathbf{x}_0$ ja $\mathbf{x}'(0) = \mathbf{v}_0$.

Ratkaise yhtälö kertalukua tiputtamalla, ja käyttämällä MATLAB-ratkaisinta \texttt{ode45}. Tarkastele tulosta graafisesti: ovatko trajektorit sitä mitä odotit? Ratkaise ongelma sitten käyttämällä metodia \texttt{ode23}. Vastaavatko tulokset nyt sitä mitä odotit?


\textbf{Vaativuus:} 3+ \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mlteht/mlODE/mlODE100.tex}{../mlteht/mlODE/mlODE100.tex}

%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mlteht/mlODE/ratkaisut/mlODE100R.pdf}{../mlteht/mlODE/ratkaisut/mlODE100R.pdf} \\
%\href{../mlteht/mlODE/ratkaisut/mlODE100R.m} {../mlteht/mlODE/ratkaisut/mlODE100R.m} \\
     
%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mlteht/mlODE/apusrc/mlODE100A.m}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mlODE000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mlteht/mlODE/apusrc/mlODE100Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} mlODE,Matlabdiffyht,differentiaaliyhtaloita Matlab:lla, 3d-heiluri

\textbf{Matlabfunktioita:} ode45,ode23, odexx \\\\

\hrule