mplDi003 (ent. mplDi0051.tex) (PA, P1, tharj. 2, s. 2011) \\


Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Toisen harjoituksen tavoitteena
on syventää tietoja funktioiden käsittelystä: aiheina ovat mm. derivointi, 
maksimointi, yhtälöiden ratkaiseminen (ja iterointi jos jää aikaa).
Avaa Viikkoharjoitukset-sivulla oleva työarkki ja käy läpi siinä olevat 
esimerkit ja tehtävät. Sen jälkeen voit siirtyä alla oleviin tehtäviin, 
mikäli aikaa riittää.


\begin{enumerate}

\item Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple2.mw\\
 (tässä 
\href{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.mw}{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi0003Pohja.mw} (Maple-ws) \\
\href{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.pdf}{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi0003Pohja.pdf} (pdf-muoto katsottavaksi)
, ja
avaa se  Maple-ohjelmalla. Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen jälkeen
alla oleviin tehtäviin.

\item Putoavan kappaleen nopeus $v=v(t)$ toteuttaa differentiaaliyhtälön
$mv'(t)=mg-kv(t)^2$, jos positiivinen suunta on {\bf alaspäin} ja ilmanvastus on
verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella $k>0$. \\
a) Osoita, että funktio
\[
v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\left( \sqrt{\frac{gk}{m}}\ t\right)
\]
toteuttaa vaaditun differentiaaliyhtälön.\\
b) Mikä on rajanopeus $\lim_{t\to\infty}v(t)$?\\
Vihje: {\tt simplify}-käsky ei tee sievennyksiä aivan loppuun, koska se ei
tiedä, ovatko $m,g,k$ positiivisia. Lisää käsky {\tt assume(m>0 and k>0 and g>0)}
ja kokeile sievennystä sen jälkeen.

\item Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta
$v$, lähtökorkeudesta $h$ ja työnnön suuntakulmasta
$x$ seuraavan lausekkeen mukaisesti:
\[
f(x ) = \frac{v\cos x
\left( v\sin x +\sqrt{v^2\sin^2 x+2hg} \, \right) }{g},
\]
missä $x \in [-\pi /2, \pi /2]$.
Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja oletetaan, että
$h=2$, $v=14$ ja $g= 9.81$. Määritä työnnön
optimaalinen suuntakulma ja maksimitulos.

Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:
\end{enumerate}
\begin{itemize}
\item Määrittele $f$ funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä
vaiheessa, niin voit tarkistaa, että lauseke on oikein.

\item Sijoita lukuarvot $h, v, g$.

\item Piirrä funktion $f$ kuvaaja välillä $-\pi /2 \le x \le \pi /2$
ja tarkista, että se näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä
puuttuu!)

\item Ratkaise maksimi normaaliin tapaan 
muodostamalla yhtälö $f'(x)=0$, jonka ratkaiset numeerisesti {\tt fsolve}-käskyllä.\\
Kokeile myös ``mustaa laatikkoa'' {\tt maximize} ja vertaa.

\item Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.
\end{itemize}

%\end{document}

%\textbf{Luokittelu}: \\
%\texttt{mplteht/mplDiffint/mplDi0051.tex}\\

%\textbf{Vihje}\\
\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplDiffint1/mplDi003.tex}
{../mplteht/mplDiffint1/mplDi003.tex} \\
%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi003R.pdf}{../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi003R.pdf}\\
%\href{../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi003R.mw}{../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi003R.mw}\\
     

\textbf{Aputiedostoja:}\\
 % \begin{itemize}
 %   \item 
  \href{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.mw}{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.mw} \\
 \href{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.pdf}{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.pdf}\\
%\item
%\href{../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}    
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\
%\end{document}
\textbf{Avainsanat:}
mplDiffint1, PeruskurssiP1,diff,simplify,subs,plot,Pi,assume \\ 

\hrule