mplDiV0015.tex \\ 




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}[(a)]

\item (Sama kuin mplV0014-tehtävän b-kohta)\\
Osoita, ett\"a funktio $\arctan \frac{y}{x}$ toteuttaa
{\em Laplacen osittaisdifferentiaaliyht\"al\"on}

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .$$

(T\"allaisia funktioita sanotaan {\em harmonisiksi funktioiksi}.)

\item
Oletetaan, ett\"a funktioilla $u(x,y)$ ja $v(x,y)$  on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns.
{\em Cauchy-Riemannin} yht\"al\"ot:

$$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \
\frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y} $$

Osoita, ett\"a $u$ ja $v$ ovat harmonisia.

\item
Olkoon $f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)$. Laske osittaisderivaatat
$f_{xxy}$, $f_{xyx}$, $f_{yxx}$ ja totea, ett\"a ne ovat samat.
\end{enumerate}


\textbf{Vihje:}\\
Sopii sek\"a k\"asinlaskuun ett\"a Maplelle. Maple olettaa s\"a\"ann\"ollisyytt\"a tarpeeksi,
jotta sekaderivaatat yhtyv\"at. K\"aytt\"aj\"an on tiedett\"av\"a, mit\"a pit\"a\"a olettaa. 

Mapletekniikkaa: b) Kirjoita CR-yht\"al\"ot tyyliin \\
\verb_ diff(u(x,y),x)=diff(v(x,y),y)_ \\
Maplen diff-operattorin t\"aytyy tiet\"a\"a, ett\"a lauseke, johon derivointi kohdistuu, sis\"alt\"a\"a
muuttujat  x ja y. Muussa tapauksessa se r\"av\"aytt\"a\"a ilman muuta tuloksen $0$ (nolla),
joka on samalla teht\"av\"an suorituksen arvo. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Vaativuus:} 2- \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplDiffintV/mplDiV0015.tex}{../mplteht/mplDiffintV/mplDiV0015.tex}

\textbf{Ratkaisu:}  \\
\href{../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV0015R.pdf}{../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV0015R.pdf} \\
\href{../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV0015R.mw} {../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV0015R.mw} \\
     
%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mplteht/mplDiffintV/apusrc/mplDiV0015A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplDiV000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mplteht/mplDiffintV/apusrc/mplDiV0015Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

   
\textbf{Avainsanat:} mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot, osittaisderivaatta, Laplacen yhtälö, Cauhy-Riemannin yhtälöt, harmoniset funktiot, sekaderivaattojen yhtyminen \\

%\textbf{Maplefunktioita:}  \\


\hrule