mplODE011.tex \\
\begin{enumerate}[(a)]
\item
Sovella {\it Picardin} iteraatiota (tuttuakin tutumpaan) (AA)-tehtävään

$y'=y,\ \ y(0)=1$. Osoita, että iteraatiojono lähestyy ratkaisufunktiota
$y(x)=e^x$ .

\item
(Olkoon vaihteeksi $x(t)$ .)\\
Olkoon alkuarvotehtävänä edelleen $x'=x,\ \ x(0)=1$.
%, jonka ratkaisu hyvin tunnetaan: $x(t)=e^t$. 

Osoita, että jos lasketaan likiarvo $x_n=x_h(t_n)$ EM:llä pisteessä $t=t_n$ 
käyttäen askelpituutta $h$, niin $x_h(t_n)=c(h)^{t_n}$, missä
$c(h)=(1+h)^{1/h}$.

Osoita tämän nojalla, että kiinteällä $t=t_n$ pätee $\lim_{h\to 0}x_h(t)=e^t$.
\end{enumerate}



Tehtävässä tuskin tarvitaan ohjelmistoja.\\
EM = \emph{Eulerin menetelmä}




%\textbf{Vihje}\\
\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplODE/mplODE011.tex}
{../mplteht/mplODE/mplODE011.tex} \\\\
%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE011R.pdf}{pdf-muodossa}\\
%\href{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE011R.mw} {Maple worksheet,mw-tiedosto}\\
     
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE011A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplODE000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE011Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\
   
\textbf{Avainsanat:} Maplediffyhtälöt, diffyhtalot, mplODE,Picard-Lindelöf, Eulerin menetelmä \\