mplODE015.tex
Maple,Matlab \\
Tarkastellaan (AA)-tehtävää 
$$y'=\frac{3t^2}{(3y^2-4)},\ \ y(1)=0 .$$

(a) Laske EM:llä ratkaisuapproksimaatiot pisteissä $t=1.2,1.4,1.6,1.8$
käyttäen askelta $h=0.1$ .

(b) Tee sama askeleella $h=0.05$ .

(c) Vertaa tuloksia.

(d) Piirrä suuntakenttä ja ratkaisuapproksimaatioita, sekä
EM-ratkaisuja. Osaatko selittää, miksi EM toimii kohtuullisesti
alussa, mutta kelvottomasti lopussa?



Eulerin menetelmää voi tässä käyttää ohjelman Maple laskintyylillä,
kuten edellä tai sitten oikeaksi funktioksi koodatulla versiolla, annetaan
tässä nuo koodit.

Eulerin menetelmän koodit (sisältyvät myös apupakettiin *apu.zip):\\

*** unzippaa apu ja laita kaikki 1 klikin taakse *** \\

Maple: [HAM s. 206]
(copy/paste $\rightarrow$ Maple-istuntoon)
\begin{verbatim}
Euler:=proc(f,a,b,ya,m)
local n,h,t,y;
h:=evalf((b-a)/m);
t[0]:=a;y[0]:=ya;
for n from 0 to m do
  y[n+1]:=y[n]+h*f(t[n],y[n]);
  t[n+1]:=t[n]+h;
end do;
seq([t[n],y[n]],n=0..m);
end: 
\end{verbatim}
 Esim: $y'=t-y^2$
\begin{verbatim}
f:=(t,y)->t-y^2;
e3:=Euler(f,0,5,1,3);
plot([e3]);
\end{verbatim}

Matlab: (Kts. vastaava Matlab-teht.)
\begin{verbatim}
\end{verbatim}



%\textbf{Vihje}\\
\textbf{Vaativuus:} 2 \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplODE/mplODE015.tex}
{../mplteht/mplODE/mplODE015.tex} \\\\
%\textbf{Ratkaisu:}  \\
%\href{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE015R.pdf}{pdf-muodossa}\\
%\href{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE015R.mw} {Maple worksheet,mw-tiedosto}\\
     
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE015A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplODE000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE015Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\
   
\textbf{Avainsanat:}, Maplediffyhtälöt, differentiaaliyhtalot, mplODE,ODEnumeeriset menetelmät, Eulerin menetelmä


\textbf{Viitteet:}\\
\texttt{[KRE]}
E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, Wiley\\
\texttt{[HAM]}
Heikki Apiola:
Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.