mplODE017.tex, mlODE007.tex \\

Käyrän sovituksen yhteydessä huomasimme, että eksponentiaalinen kasvumalli, ns. {\it Malthus'n laki} 
$y'=k y$ ei toimi USA:n
väestödataan pitkällä aikavälillä. 
Mallia voidaan tarkentaa lisäämällä sopiva kasvua rajoittava termi, tällöin
johdutaan ns. logistiseen kasvulakiin:

\quad $y'=a y - b y^2$

USA:n väestödataan liityen {\it Verhulst} arvioi v. $1845$ arvot
$a=0.03$ ja $b=1.6 10^{-4}$, kun $t$ mitataan vuosissa ja väkiluku
$y(t)$ miljoonissa.

\textbf{Opettajalle:} Tehtävä voidaan käsitellä ehkä luontevamminkin kokonaan erillisenä
numeeristen diffyhtälöratkaisujen opetuksesta. Tällöin otetaan vain alla olevat kohdat (c) ja/tai (d).

(a) Ratkaise tehtävä ($y(0)=5.3$) Eulerin menetelmällä käyttämällä
askelpituussa $h=10$ 

(b) rk4:llä käyttäen n. nelinkertaista askelta (voit kokeilla pienempiäkin)

(c) Matlabin {\tt ode45}:llä.

(d) Laske analyyttinen ratkaisu Maplella. (Kyseessähän on
{\it Bernoullin yhtälö}.)

Piirrä kuvia ja laske kaikissa tapauksessa ratkaisujen arvot annetuissa
taulukkopisteissä. 
(ode45-tapauksessa onnistuu ainakin sovittamalla
dataan splini funktiolla spline, joka on maailman helppokäyttöisin.)\\
kts. \href{http://www.math.hut.fi/teaching/v/matlab/opas.html#splinit}{http://www.math.hut.fi/teaching/v/matlab/opas.html#splinit}\\
(Nykyään (2012) ei tarvita erillistä splinisovitusta, laskentapisteet voidaan
antaa suoraan ode45-funktiolle syötteenä.)


\begin{verbatim}
function [T,Y]=eulerS(f,Tspan,ya,n)
% Tämä vain kehittely- ja opettelutarkoituksessa. 
% Funktio eulerV hoitaa niin skalaari- kuin vektoriversion.
%  (24.2.04, modifioitu 21.8.2010)
% Esim: y'=t+y, y(0)=1
%       f=@(t,y)t+y
%       [T,Y]=eulerS(f,[0 4],1,6), plot(T,Y,T,Y,'.r');shg  
a=Tspan(1);b=Tspan(2);
h=(b-a)/n;
Y=zeros(n+1,1);T=(a:h:b)'; %Pystyvektorit yhdenmukaisesti ode45:n
Y(1)=ya;                   %  kanssa 
for j=1:n
   Y(j+1)=Y(j)+h*f(T(j),Y(j));
end;
\end{verbatim}
%\textbf{Huom:} Tästä voi kehitellä monenlaisia tehtävävariaatioita, myös ilman numeeristen menetelmien
%korostusta.


\textbf{Vaativuus:} 2+ \\
\textbf{Tehtävän Latex-koodi:}\\
\href{../mplteht/mplODE/mplODE017.tex}{../mplteht/mplODE/mplODE017.tex}

\textbf{Ratkaisu:} *** Hukassa, etsi/tee ***  \\
%\href{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE017R.pdf}{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE017R.pdf} \\
%\href{../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE017R.mw} {../mplteht/mplODE/ratkaisut/mplODE017R.mw} \\
     
%%%%%%%%% Harvemmin esiintyviä %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\textbf{Aputiedostoja,viitteitä}\\
%  \begin{itemize}\\
%    \item 
%  \href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE017A.mw}{ Oppilaille: ohje-ja pohjatyöarkki (mw)} (Linkki mukaan mplODE000x.tex-tiedostoon)\\
%\item
%\href{../mplteht/mplODE/apusrc/mplODE017Aope.tex}{ Opettajalle: Latex-lisäohjeita liitettäväksi tehtäväpaperiin}\\
%\end{itemize}\\
   
%\textbf{Vastaavanlaisia tehtäviä:}\\
   
%\begin{enumerate}\\
%\item Perusesim tähän kohtaan:\\
%\end{enumerate}\\

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{Viitteitä:}

\href{http://math.aalto.fi/opetus/kp3-ii/06/L/L14dynumkalvot.pdf}{http://math.aalto.fi/opetus/kp3-ii/06/L/L14dynumkalvot.pdf}\\
\href{http://www.math.hut.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/esim/eulerS.m}{http://www.math.hut.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/esim/eulerS.m}\\
(Listaus yllä)

   
\textbf{Avainsanat:} mplODE,Maplediffyht,differentiaaliyhtaloita Maplella, logistinen kasvu, numeeriset menetelmät, Eulerin menetelmä, Heunin menetelmä, Runge Kutta 

\textbf{Maplefunktioita:} dsolve \\\\

\hrule